Question

Int(sin^4(x)*cos^5(x)) решение интеграла частями, за ранее спасибо

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для решения интеграла $\int \sin^4(x) \cos^5(x) \, dx$ можно использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, где $u$ и $v$ - функции, которые выбираются таким образом, чтобы интеграл $\int v \, du$ был более простым для вычисления.

Решение:

Для данного интеграла выберем $u = \sin^4(x)$ и $dv = \cos^5(x) \, dx$. Тогда $du = 4\sin^3(x)\cos(x) \, dx$ и $v = \int \cos^5(x) \, dx$.

Для вычисления интеграла $\int \cos^5(x) \, dx$ можно воспользоваться формулой понижения степени для тригонометрических функций. Эта формула позволяет выразить функцию более высокой степени через функции более низкой степени. В данном случае, формула понижения степени для $\cos^5(x)$ будет выглядеть следующим образом:

$$\cos^5(x) = \cos^4(x) \cdot \cos(x) = (1 - \sin^2(x))^2 \cdot \cos(x)$$

Теперь мы можем вычислить интеграл $\int \cos^5(x) \, dx$:

$$\int \cos^5(x) \, dx = \int (1 - \sin^2(x))^2 \cdot \cos(x) \, dx$$

Для удобства обозначим $t = \sin(x)$, тогда $dt = \cos(x) \, dx$. Подставим это в выражение:

$$\int (1 - \sin^2(x))^2 \cdot \cos(x) \, dx = \int (1 - t^2)^2 \, dt$$

Вычислим этот интеграл:

$$\int (1 - t^2)^2 \, dt = \int (1 - 2t^2 + t^4) \, dt = t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5 + C$$

Теперь, используя формулу интегрирования по частям, мы можем вычислить исходный интеграл $\int \sin^4(x) \cos^5(x) \, dx$:

$$\int \sin^4(x) \cos^5(x) \, dx = \sin^4(x) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) + \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) \, dx$$

$$= \sin^4(x) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) + \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) \, dx$$

$$= \sin^4(x) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) + \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot t \, dx - \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot \left(\frac{2}{3}t^3 - \frac{1}{5}t^5\right) \, dx$$

$$= \sin^4(x) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) + \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot t \, dx - \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\sin^3(x) - \frac{1}{5}\sin^5(x)\right) \, dx$$

$$= \sin^4(x) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) + \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot t \, dx - \int \left(\frac{8}{3}\sin^6(x)\cos(x) - \frac{4}{5}\sin^8(x)\cos(x)\right) \, dx$$

$$= \sin^4(x) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) + \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot t \, dx - \int \left(\frac{8}{3}\sin^6(x)\cos(x)\right) \, dx + \int \left(\frac{4}{5}\sin^8(x)\cos(x)\right) \, dx$$

$$= \sin^4(x) \cdot \left(t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right) + \int \left(4\sin^3(x)\cos(x)\right) \cdot t \, dx - \frac{8}{3}\int \sin^6(x)\cos(x) \, dx + \frac{4}{5}\int \sin^8(x)\cos(x) \, dx$$

Теперь мы можем вычислить оставшиеся интегралы. Для этого можно использовать формулу понижения степени для $\sin^6(x)$ и $\sin^8(x)$, а затем применить метод интегрирования по частям снова.

Примечание: В данном случае, для удобства вычислений, можно воспользоваться символьными вычислениями с помощью программного обеспечения, такого как Wolfram Alpha или символьные вычислительные пакеты в Python, такие как SymPy.

Надеюсь, это решение поможет вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.