Question

1)Маша записала на доске числа от 1 до 2017.Сколько цифр понадобилось для их записи? 2) Сколько существует пар трехзначных чисел a и b,для которых произведение аb-пятизначное число,состоящее из одинаковых цифр?

Answer 1

1) Разных цифр - все десять - от нуля до девяти.
Всего - суммируем
от 1 до 9 - 9 шт
от 10 до 99 - по две на каждое - 2*90 = 180 шт
от 100 до 999 -  по три на каждое - 3*900 = 2700 шт
от 1000 до 2017 - по четыре - 4*1018  = 4072 шт.
Сложим все
9+180+2700+4072 = 6961 шт цифр - ОТВЕТ
2)
Раскладываем на множители пятизначные числа на два трехзначных множителя
33333 = 123*271
44444 = 164*271
5555 = 205*271
ОТВЕТ: а= 271 и b= 123 и 146 и 164 и 205 и 246 и 287 и 328 и  369.

Answer 2

1) Для ответа на первый вопрос, нужно определить количество цифр в диапазоне от 1 до 2017.

Сначала определим количество однозначных чисел. В этом диапазоне они идут от 1 до 9, всего 9 чисел.

Затем посмотрим на количество двузначных чисел. Они идут от 10 до 99, всего 90 чисел.

Теперь посмотрим на количество трехзначных чисел. Они идут от 100 до 999, всего 900 чисел.

Теперь сложим эти числа: 9 (однозначные) + 90 (двузначные) + 900 (трехзначные) = 999.

Таким образом, для записи чисел от 1 до 2017 понадобится 999 цифр.

2) Для второго вопроса нам нужно найти количество пар трехзначных чисел \(a\) и \(b\), таких что произведение \(ab\) - пятизначное число, состоящее из одинаковых цифр.

Пятизначное число из одинаковых цифр может быть только 11111, 22222, ..., 99999.

Рассмотрим каждый вариант:

- Если \(ab = 11111\), то \(a\) и \(b\) должны быть однозначными числами. Количество однозначных чисел - 9 (от 1 до 9). Пара (1, 11111) и пара (11111, 1) учтены один раз, поэтому умножим на 2. Получаем 9 * 2 = 18 пар.

- Если \(ab = 22222\), то \(a\) и \(b\) должны быть двузначными числами с одинаковыми десятками. Количество таких пар - 9 (от 11 до 99). Пара (11, 202) и пара (22, 902) учтены один раз, поэтому умножим на 2. Получаем 9 * 2 = 18 пар.

Аналогично для остальных чисел. Для каждого из 9 вариантов получаем 18 пар.

Таким образом, общее количество пар трехзначных чисел \(a\) и \(b\), для которых произведение \(ab\) - пятизначное число, состоящее из одинаковых цифр, равно \(9 \times 18 = 162\) пары.