Question

На доске написаны 200 натуральных чисел. Оказалось, что произведение любых 11 из них кратно 30. Какое наименьшее количество чисел, кратных 30, может быть на доске?

Answer 1

30 = 2 * 3 * 5

Произведение любых 11 чисел делится на 2, поэтому среди этих чисел обяательно должно быть чётное, и нечётных чисел не больше 10. Тогда чётных чисел не меньше 300 - 10 = 290.
Аналогично, на 3 делится не менее, чем 290 чисел, и на 5 делится не менее, чем 290 чисел.

Заметим, что эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы произведение любых 11 чисел делилось на 30, поэтому дальше будем говорить только о делимости чисел на 2, 3 и 5.

Буду обозначать количество делящихся на что-то чисел как #(что-то).

Заметим, что
#(2 и 3) = #(2) + #(3) - #(2 или 3) >= 290 + 290 - 300 = 280
#((2 и 3) и 5) = #(2 и 3) + #(5) - #((2 и 3) или 5) >= 280 + 290 - 300 = 270.

Пример, когда чисел, делящихся на 30, ровно 270:
270 раз 30, 10 раз 6, 10 раз 10, 10 раз 15.

Ответ. 270.

Answer 2

Задача

На доске написаны 200 натуральных чисел. Оказалось, что произведение любых 11 из них кратно 30. Какое наименьшее количество чисел, кратных 30, может быть на доске?

Решение

Чтобы найти наименьшее количество чисел, кратных 30, на доске, мы должны понять, какие числа могут быть на доске и как они могут быть распределены.

Шаг 1: Разложим число 30 на простые множители: 30 = 2 * 3 * 5.

Шаг 2: Поскольку произведение любых 11 чисел на доске кратно 30, это означает, что среди этих 11 чисел должны быть как минимум два числа, кратных 2, два числа, кратных 3, и одно число, кратное 5.

Шаг 3: Мы можем предположить, что на доске будет 11 чисел, удовлетворяющих этим условиям. Тогда наименьшее количество чисел, кратных 30, будет равно сумме чисел, кратных 2, 3 и 5.

Шаг 4: Разложим числа 2, 3 и 5 на простые множители:

- 2 = 2 - 3 = 3 - 5 = 5

Шаг 5: Сложим количество чисел, кратных 2, 3 и 5:

- Количество чисел, кратных 2: 200 / 2 = 100 - Количество чисел, кратных 3: 200 / 3 = 66 (округляем вниз до ближайшего целого числа) - Количество чисел, кратных 5: 200 / 5 = 40

Шаг 6: Суммируем количество чисел, кратных 2, 3 и 5:

100 + 66 + 40 = 206

Ответ: Наименьшее количество чисел, кратных 30, которое может быть на доске, равно 206.