Question

Вычислите интеграл снизу 1 сверху 0 ( 1 + x^2 ) dx Желательно на листочке с объяснением , дабы понять самому и больше не задавать подобных вопросов.

Answer 1

$\int\limits^1_0 {(1+ x^{2} )} \, dx = \int\limits^1_0 {1} \, dx + \int\limits^1_0 { x^{2} } \, dx =x| _{0} ^{1} + \frac{ x^{2+1} }{2+1} | _{0} ^{1} =}$
$=x| _{0} ^{1} + \frac{ x^{3} }{3} | _{0} ^{1} =(1-0)+( \frac{ 1^{3} }{3}- \frac{ 0^{3} }{3} )=1+ \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, мы можем использовать формулу интегрирования степенной функции:

∫(x^n) dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C,

где n ≠ -1 и C - произвольная постоянная.

В нашем случае, у нас есть интеграл ∫(1 + x^2) dx, где нижний предел равен 1, а верхний предел равен 0.

Для начала мы интегрируем каждое слагаемое отдельно:

∫(1) dx = x + C1,

∫(x^2) dx = (x^3) / 3 + C2.

Затем, мы складываем полученные результаты:

∫(1 + x^2) dx = x + (x^3) / 3 + C,

где C = C1 + C2, и является общей постоянной.

Теперь, чтобы вычислить значение интеграла с заданными пределами, мы подставляем эти пределы в полученное выражение и находим разность:

∫[1, 0] (1 + x^2) dx = [0 + (0^3) / 3 + C] - [1 + (1^3) / 3 + C] = (0 + 0 + C) - (1 + 1/3 + C) = -1/3.

Таким образом, значение данного интеграла с пределами от 1 до 0 равно -1/3.