Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x+1; y=0; x=1; x=3

Answer 1

$\int\limits^3_1 {(x+1)} \, dx$ =(x^2 /2) +x от 1 до 3=9/2 +3 - 1/2 - 1=6; Или вычисляем площадь прямоугольной трапеции: 2(2+4)/2=6.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нам нужно найти область, заключенную между этими линиями. В данном случае, фигура ограничена линиями y = x + 1, y = 0, x = 1 и x = 3. Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найти точки пересечения линий Первым шагом является нахождение точек пересечения линий. Для этого приравняем уравнения линий друг к другу и решим систему уравнений. * y = x + 1 * y = 0 * x = 1 * x = 3

Из этих уравнений мы можем найти четыре точки пересечения: 1. Когда y = 0, x = 1 и x = 3. 2. Когда y = x + 1, подставляем x = 1 и x = 3 в уравнение, чтобы найти y-координаты точек. Получаем (1, 2) и (3, 4).

Шаг 2: Определить границы интегрирования Теперь, когда у нас есть точки пересечения, нам нужно определить границы интегрирования для вычисления площади. В данном случае, границы интегрирования будут от x = 1 до x = 3.

Шаг 3: Вычислить интеграл Формула для вычисления площади между кривыми задается интегралом:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где "f(x)" - это верхняя функция, а "g(x)" - это нижняя функция.

В нашем случае, "f(x)" будет y = x + 1, а "g(x)" будет y = 0. Таким образом, наш интеграл будет иметь вид:

S = ∫[1,3] (x + 1 - 0) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[1,3] (x + 1) dx = [x^2/2 + x] [1,3] = (3^2/2 + 3) - (1^2/2 + 1) = (9/2 + 3) - (1/2 + 1) = 15/2 - 3/2 = 12/2 = 6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 1, y = 0, x = 1 и x = 3, равна 6 квадратным единицам.