Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2; y=3-x

Answer 1

$y=x^2 \\ y=3-x \\ \\ x^2=3-x \\ x^2+x-3=0 \\ D=b^2-4ac=1^2-4*1*(-3)=1+12=13 \\ \\ x_{1} = \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-1+ \sqrt{13} }{2} \\ \\ x_{2} = \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-1- \sqrt{13} }{2}$

$\int\limits^\frac{-1+ \sqrt{13} }{2}_\frac{-1- \sqrt{13} }{2} {(3-x-x^2)} \, dx =3x- \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} |^\frac{-1+ \sqrt{13} }{2}_\frac{-1- \sqrt{13} }{2}= \\ \\ =(3*\frac{-1+ \sqrt{13} }{2}- \frac{(\frac{-1+ \sqrt{13} }{2})^2}{2} - \frac{(\frac{-1+ \sqrt{13} }{2})^3}{3})- \\ \\ -(3*\frac{-1- \sqrt{13} }{2}- \frac{(\frac{-1- \sqrt{13} }{2})^2}{2} - \frac{(\frac{-1- \sqrt{13} }{2})^3}{3})=$

$=(\frac{-3+ 3\sqrt{13} }{2}- \frac{7- \sqrt{13}}{4} - \frac{2\sqrt{13}-5}{3})-(\frac{-3- 3\sqrt{13} }{2}- \frac{7+ \sqrt{13}}{4} - \frac{-5-2\sqrt{13}}{3})= \\ \\ =\frac{6(-3+ 3\sqrt{13})-3(7- \sqrt{13})-4(2\sqrt{13}-5)}{12} -\frac{6(-3- 3\sqrt{13})-3(7+ \sqrt{13})-4(-5-2\sqrt{13})}{12}= \\ \\ =\frac{(-18+ 18\sqrt{13})-(21- 3\sqrt{13})-(8\sqrt{13}-20)}{12}- \\ \\ -\frac{(-18- 18\sqrt{13})-(21+ 3\sqrt{13})-(-20-8\sqrt{13})}{12}=$

$=\frac{-18+18\sqrt{13}-21+3\sqrt{13}-8\sqrt{13}+20}{12}-\frac{-18-18\sqrt{13}-21-3\sqrt{13}+20+8\sqrt{13}}{12}= \\ \\ =\frac{-19+13\sqrt{13}}{12}-\frac{-19-13\sqrt{13}}{12}=\frac{(-19+13\sqrt{13})-(-19-13\sqrt{13})}{12}= \\ \\ =\frac{-19+13\sqrt{13}+19+13\sqrt{13}}{12}=\frac{26\sqrt{13}}{12}=\frac{13\sqrt{13}}{6}=7,812$

ответ: S=7,812 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 3 - x, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить интервал интегрирования.

Нахождение точек пересечения кривых

Для этого приравняем уравнения и решим полученное уравнение:

x^2 = 3 - x

Перенесём все члены в одну сторону:

x^2 + x - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = 1 и c = -3. Решая это уравнение, получим два значения x.

x = (-1 ± √(1^2 - 4 * 1 * -3)) / (2 * 1)

x = (-1 ± √(1 + 12)) / 2

x = (-1 ± √13) / 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = (-1 + √13) / 2 и x = (-1 - √13) / 2.

Вычисление площади фигуры

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Поскольку кривые пересекаются в точках x = (-1 + √13) / 2 и x = (-1 - √13) / 2, мы будем интегрировать по этому интервалу.

Площадь фигуры можно вычислить суммированием площадей двух фигур, ограниченных этими кривыми. Формула для вычисления площади фигуры между двумя кривыми y = f(x) и y = g(x) на интервале [a, b] выглядит следующим образом:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

В нашем случае, f(x) = x^2 и g(x) = 3 - x. Таким образом, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

S = ∫[(-1 - √13) / 2, (-1 + √13) / 2] (x^2 - (3 - x)) dx

Вычислять этот интеграл может быть сложно вручную, поэтому давайте воспользуемся компьютерной программой или калькулятором, чтобы получить численное значение этого интеграла.

Примечание: В данном случае, площадь фигуры будет положительной, так как кривые y = x^2 и y = 3 - x не пересекаются в отрицательной области x.