Question

Найдите значение наименьшего члена последовательности, которая задана формулой n-ого члена: An=n^2+(16/n)

Answer 1

Найдём производную функции $f(n)=n^2+\frac{16}{n}$

$f'(n)=2n-\frac{16}{n^2}=\frac{2n^3}{n^2}$

$2n^3-16=0\Rightarrow n=2$

Найдём знаки производной:

    -         -           +

--------о--------*---------->

        0         2             n

То есть точка минимума функции n = 2. Значит, наименьший член последовательности $A_{2}=2^2+\frac{16}{2}=4+8=12$

Ответ: 12

Answer 2

Для нахождения значения наименьшего члена последовательности, заданной формулой \(A_n = n^2 + \frac{16}{n}\), нужно найти минимум этой функции.

Сначала найдем производную функции по переменной \(n\) и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ A_n' = 2n - \frac{16}{n^2} \]

Теперь приравняем \(A_n'\) к нулю и решим уравнение:

\[ 2n - \frac{16}{n^2} = 0 \]

Умножим обе стороны на \(n^2\):

\[ 2n^3 - 16 = 0 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ 2n^3 = 16 \]

\[ n^3 = 8 \]

\[ n = 2 \]

Таким образом, получаем, что \(n = 2\) - это критическая точка.

Теперь найдем значение второй производной \(A_n''\), чтобы определить, является ли это точка минимумом или максимумом:

\[ A_n'' = 2 + \frac{32}{n^3} \]

Подставим \(n = 2\):

\[ A_2'' = 2 + \frac{32}{2^3} = 2 + \frac{32}{8} = 6 \]

Так как \(A_2'' > 0\), это означает, что у нас есть минимум.

Теперь найдем значение самой функции в точке \(n = 2\):

\[ A_2 = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12 \]

Таким образом, наименьшее значение последовательности достигается при \(n = 2\) и равно 12.