Question

Помогите решить пожалуйста.(2x+y-5)²+(x+y-3)²=0

Answer 1

сумма двух квадратов равна 0, только если каждое слагаемое равно 0:

{2x+y=5

{x+y=3

____-

{2x+y-x-y = 5-3

{y = 3-x

___

{x=2

{y = 1

Ответ: (2; 1)

Answer 2

Сумма квадратов больше либо равна 0. Она равна 0, если слпгаемые равны 0.

2х+у-5=0

х+у-3=0

х-2=0

х=2

у=1

Ответ: х=2 у=1

Answer 3

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки:

(2x+y-5)² + (x+y-3)² = 0

(4x² + y² + 25 - 10x - 10y + 10xy) + (x² + y² + 9 - 6x - 6y + 6xy) = 0

4x² + y² + 25 - 10x - 10y + 10xy + x² + y² + 9 - 6x - 6y + 6xy = 0

5x² + 2y² - 16x - 16y + 16xy + 34 = 0

Теперь приведем уравнение к каноническому виду, чтобы решить его. Для этого сгруппируем переменные:

(5x² - 16x + 2y² - 16y + 16xy) + 34 = 0

Теперь рассмотрим выражение в скобках:

5x² - 16x + 2y² - 16y + 16xy

Мы видим, что это квадратный трехчлен относительно переменных x и y. Для нахождения его минимума или максимума найдем его частные производные и приравняем их к нулю:

∂/∂x (5x² - 16x + 2y² - 16y + 16xy) = 10x - 16 + 16y = 0 ∂/∂y (5x² - 16x + 2y² - 16y + 16xy) = 4y - 16 + 16x = 0

Решим данную систему уравнений:

10x - 16 + 16y = 0 -> 10x = 16 - 16y -> x = (16 - 16y) / 10 4y - 16 + 16x = 0 -> 4y = 16 - 16x -> y = (16 - 16x) / 4

Подставим значение y в первое уравнение:

x = (16 - 16(16 - 16x) / 4) / 10 x = (16 - 4(16 - 16x)) / 10 x = (16 - 64 + 64x) / 10 10x = -48 + 64x 48 = 54x x = 48 / 54 x = 8 / 9

Теперь найдем значение y, подставив x:

y = (16 - 16x) / 4 y = (16 - 16(8 / 9)) / 4 y = (16 - 128 / 9) / 4 y = (144 - 128) / 36 y = 16 / 36 y = 4 / 9

Таким образом, получаем решение системы уравнений:

x = 8 / 9 y = 4 / 9