Question

Вышмат,помогите пожалуйста решить

Answer 1

Найдем частные производные первого порядка.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\ln (x+xy^2))= \frac{1}{x+xy^2}\cdot (x+xy^2)'_x= \frac{1+y^2}{x+xy^2} =\frac{1+y^2}{x(1+y^2)}=\frac{1}{x}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\ln(x+xy^2))= \frac{1}{x+xy^2}\cdot (x+xy^2)'_y= \frac{2y}{1+y^2}$

Тогда полный дифференциал первого порядка:
$\displaystyle dz= \frac{\partial z}{\partial x} \cdot dx+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot dy \\ \\ \\ \boxed{dz= \frac{1}{x}dx+ \frac{2y}{1+y^2}dy }$

Вычислим частные производные второго порядка.
$\displaystyle \frac{\partial^2z}{\partial x^2} =\bigg( \frac{1}{x} \bigg)^\big{'}_\big{x}=- \frac{1}{x^2} \\ \\ \\ \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\bigg( \frac{2y}{1+y^2} \bigg)^\big{'}_\big{y}= \frac{2(1+y^2)-2y\cdot 2y}{(1+y^2)^2} = \frac{2-2y^2}{(1+y^2)^2} \\ \\ \\ \frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \bigg( \frac{2y}{1+y^2}\bigg)=0$
Тогда полный дифференциал второго порядка будет иметь вид:
$\displaystyle dz^2= \frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot dx^2 +2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \cdot dxdy+ \frac{\partial^2z}{\partial y^2} \cdot dy^2\\ \\ \\ \boxed{dz^2=- \frac{1}{x^2}dx^2 + \frac{2-2y^2}{(1+y^2)^2} dy^2}$