Question

В треугольнике АВС со сторонами 13,14 и 15 Н,М и Л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис соответсвенно,Найдите площадь треугольника НМЛ

Answer 1

Дан треугольник АВС со сторонами  АВ =13, ВС =14 и АС =15.
Н, М и Л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис. 

Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат точкой А в начало и стороной АС по оси Ох.
Координаты точек А и С известны:
А(0; 0),
С(15; 0).
По теореме косинусов найдём косинус, а затем и синус угла А и найдём координаты точки В: Хв = АВ*cos A, Yв = АВ*sin A.
cos A = (13²+15²-14²)/(2*13*15) =  198/390 =  33/65 ≈ 0,507692.
sin A = √(1 - cos² A) = √ (3136/4225) = 56/65 ≈ 0,861538.
Отсюда получаем В(6,6; 11,2).

 Координаты центроида (точка пересечения медиан):
М(Хм;Ум) = (Ха+Хв+Хс)/3;  Уа+Ув+Ус)/3 = (7,2; 3,7333).

Центр вписанной окружности - точка Л пересечения биссектрис.
Хл = ( ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс)/Р = 7
Ул = (ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус)/Р = 4.
Здесь периметр Р = 42.

Точку Н пересечения высот находим как точку пересечения высот их точек А и С.
АА₂: (Х-Ха)       (У-Уа)  
        ---------  =  ---------
        (Хв-Хс      (Ус-Ув)
 АА₂:  -8,4 Х + 11,2 У + 0 = 0           уравнение общего вида,
 АА₂:  у = 0,75 х + 0                         уравнение с коэффициентом.

СС₂: Х-Хс       У-Ус
        -------- =  ---------
         Ха-Хв      Ув-Уа
СС₂:  -6,6 Х - 11,2 У + 99 = 0             уравнение общего вида,
СС₂:   у = -0,589286 х + 8,8392857     уравнение с коэффициентом.
В результате решения системы из двух полученных уравнений находим координаты точки Н:  Точка Н:  x =  6,6,
                                                    y =  4,95.
По полученным координатам заданных точек находим длины отрезков треугольника НМЛ и по формуле Герона находим его площадь.
       л                н                 м                p             2p                     S
1,35657     0,33333     1,03078    1,360339   2,720678       0,04166666
cos Л = -0,97014        сos Н = 0,998223        cos М = 0,982872187
Лrad = 2,896614        Нrad = 0,059631         Мrad = 0,18534795
Лgr = 165,9638          Hgr = 3,416588           Мgr = 10,61965528 .

Ответ: площадь треугольника НМЛ равна 0,04166666 кв.ед.