Question

(n^5-n) делится на 30

Answer 1

$n^5-n=n\cdot(n^4-1)=n\cdot(n^2-1)\cdot(n^2+1)= \\ \\ =n\cdot(n-1)\cdot(n+1)\cdot (n^2+1)=(n-1)\cdot n\cdot(n+1)\cdot (n^2+1)$
(n-1)·n·(n-1)- три последовательных натуральных числа, среди них одно обязательно кратно 3, одно кратно 2, значит все произведение кратно 6
осталось доказать кратность  5

Среди любых пяти последовательных натуральных чисел, одно кратно 5, это число 5k.
Второе дает  при делении на 5  остаток 1, это число 5k+1
Третье  при делении на 5 дает остаток 2, это число 5k+2
Четвертое при делении на 5 дает остаток 3, это число 5k+3
Пятое при делении на 5 дает остаток 4, это число 5k+4

1)если n=5k, то произведение (n-1)·n·(n+1) кратно 5
2)если n=5k+1, то (n-1)=5k и произведение (n-1)·n·(n+1) кратно 5
3)если n=5k+2, то (n²+1)=(5k+2)²+1=25k²+20k+4+1=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1) кратно 5 и произведение (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5
4)если n=5k+3, то (n²+1)=(5k+3)²+1=25k²+30k+9+1=25k²+30k+10=5(5k²+6k+2) кратно 5 и произведение (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5
5) если n=5k+4, то n+1=5k+4+1=5k+5=5·(k+1) - кратно 5 и произведение
(n-1)n(n+1)  кратно 5.

Ответ Все случаи рассмотрены. Доказано