Question

Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС.она касается гипотенузы АВ в точке М,причём АМ=12 и ВМ =8.найдите площадь треугольника АОВ

Answer 1

ΔABC, <C=90, O-центр вписан.окр., ОМ перп-но АВ, ОН перп-но ВС, ОК перп-но АС, r=ОМ=ОН=ОК
АМ=12, ВМ=8
АМ=АК=12,  ВМ=ВН=8
АС=АК+КС=12+r
BC=BH+HC=8+r
АВ=АМ+ВМ=12+8=20
АС²+ВС²=АВ²  --->  (12+r)²+(8+r)²=400
                              r²+20r-96=0
                              r=-24  или  r=4
r=-24 не подходит как отрицательное число
Для ΔАОВ радиус  ОМ является высотой, проведённый к стороне АВ.Площадь этого треугольника равна
                                    $S=\frac{1}{2}\cdot OM\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 20=40$