Question

Решите очень надо ) cos(x/2+π/3)=√3/2

Answer 1

Решение во вложении))))))))))

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[ \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Мы хотим найти все значения \(x\), удовлетворяющие данному уравнению.

Используем тригонометрическую формулу суммы для косинуса:

\[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \]

В данном случае у нас \(A = \frac{x}{2}\) и \(B = \frac{\pi}{3}\). Подставим значения:

\[ \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Мы знаем, что \(\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому подставим эти значения:

\[ \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3} \]

Теперь используем тригонометрическую формулу синуса для \(a\sin\theta + b\cos\theta\):

\[ R\sin(\theta - \phi) = R\sin\theta\cos\phi - R\cos\theta\sin\phi \]

В данном случае, у нас \(R = 1\), \(\theta = \frac{x}{2}\), и \(\phi = \frac{\pi}{3}\). Подставим значения:

\[ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Упростим выражение:

\[ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) \]

Теперь у нас есть новое уравнение:

\[ \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3} \]

Мы получили систему из двух уравнений:

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3} \] \[ \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3} \]

Теперь решим эту систему уравнений. Для удобства обозначим \(u = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\) и \(v = \sin\left(\frac{x}{2}\right)\).

1. Уравнение: \(u - \sqrt{3}v = \sqrt{3}\) 2. Уравнение: \(\frac{1}{2}v - \frac{\sqrt{3}}{2}u = \sqrt{3}\)

Решим первое уравнение относительно \(u\):

\[ u = \sqrt{3}v + \sqrt{3} \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ \frac{1}{2}v - \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}v + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{1}{2}v - \frac{3}{2}v - \frac{3}{2} = \sqrt{3} \]

Упростим:

\[ -v - \frac{3}{2} = \sqrt{3} \]

\[ -v = \frac{3}{2} + \sqrt{3} \]

Умножим обе стороны на -1:

\[ v = -\frac{3}{2} - \sqrt{3} \]

Теперь зная значение \(v\), подставим его обратно в уравнение \(u = \sqrt{3}v + \sqrt{3}\):

\[ u = \sqrt{3}(-\frac{3}{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{3} \]

Упростим:

\[ u = -\frac{3}{2} - 3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \]

\[ u = -\frac{9}{2} + 2\sqrt{3} \]

Теперь у нас есть значения \(u\) и \(v\), но мы искали значения \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\) и \(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\). Подставим обратно:

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{9}{2} + 2\sqrt{3} \] \[ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{3}{2} - \sqrt{3} \]

Теперь используем формулы двойного угла:

\[ \cos\