Question

Докажите, что многочлен x²+2x+y²-4y+6 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения.

Answer 1

X²+2x+y²-4y+6 =(x²+2x+1)+(y²-4y+4)+1 =(x+1)²+(y-2y)²+1>0
квадрат любого числа всегда неотрицательный, а мы получили, что к двум квадратам прибавляется положительное число, значит результат положительный

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен \(x^2 + 2x + y^2 - 4y + 6\) принимает положительные значения при любых значениях переменных, мы можем воспользоваться методом завершения квадратов.

Метод завершения квадратов - это метод преобразования квадратного многочлена в сумму квадратов.

Давайте рассмотрим данный многочлен и попытаемся привести его к виду суммы квадратов:

\(x^2 + 2x + y^2 - 4y + 6\)

Для начала, преобразуем первые два слагаемых, \(x^2 + 2x\), в полный квадрат. Для этого нужно добавить и вычесть \(1\) (половину коэффициента при \(x\)):

\(x^2 + 2x + 1 - 1 + y^2 - 4y + 6\)

Теперь мы можем записать первые три слагаемых как квадрат:

\((x + 1)^2 - 1 + y^2 - 4y + 6\)

Аналогично, преобразуем следующие два слагаемых, \(y^2 - 4y\), в полный квадрат. Добавим и вычтем \(4\) (половину коэффициента при \(y\)):

\((x + 1)^2 - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 6\)

Теперь можно записать последние три слагаемых как квадрат:

\((x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 6\)

Собираем все вместе:

\((x + 1)^2 + (y - 2)^2 + 1\)

Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен в сумму квадратов.

Теперь давайте проанализируем полученное выражение. Все слагаемые в этой сумме являются квадратами, а квадраты всегда неотрицательны. Также, слагаемое \(1\) всегда положительное.

Следовательно, сумма квадратов и положительное слагаемое \(1\) дают положительное значение для любых значений переменных \(x\) и \(y\).

Таким образом, мы доказали, что многочлен \(x^2 + 2x + y^2 - 4y + 6\) принимает положительные значения при любых значениях переменных \(x\) и \(y\).

Answer 3

Чтобы доказать, что многочлен x²+2x+y