Question

Спростіть вираз √(√7-3)²+√(√7-2)²

Answer 1

$\sqrt{ (\sqrt{7}-3)^2} + \sqrt{ \sqrt{7}-2)^2 } }=\\\\=| \sqrt{7}-3|+|\sqrt{7}-2|=\\\\=-( \sqrt{7}-3)+( \sqrt{7}-2)=\\\\=- \sqrt{7}+3+ \sqrt{7}-2=1$

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение под корнем более внимательно и упростим его.

Пусть \( x = \sqrt{7} - 3 \), тогда \( x^2 \) будет равно \( (\sqrt{7} - 3)^2 = 7 - 6\sqrt{7} + 9 = 16 - 6\sqrt{7} \).

Аналогично, если \( y = \sqrt{7} - 2 \), то \( y^2 \) будет равно \( (\sqrt{7} - 2)^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7} \).

Теперь наше выражение может быть записано как:

\[ \sqrt{(\sqrt{7} - 3)^2 + (\sqrt{7} - 2)^2} \]

\[ = \sqrt{16 - 6\sqrt{7} + 11 - 4\sqrt{7}} \]

\[ = \sqrt{27 - 10\sqrt{7}} \]

Это выражение можно упростить, используя метод сопряжения (conjugate) для избавления от корня из корня:

\[ \sqrt{27 - 10\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{27} + \sqrt{7}}{\sqrt{27} + \sqrt{7}} \]

\[ = \frac{\sqrt{27^2 - (10\sqrt{7})^2}}{\sqrt{27} + \sqrt{7}} \]

\[ = \frac{\sqrt{729 - 700}}{\sqrt{27} + \sqrt{7}} \]

\[ = \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{27} + \sqrt{7}} \]

Теперь, чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

\[ \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{27} + \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{27} - \sqrt{7}}{\sqrt{27} - \sqrt{7}} \]

\[ = \frac{\sqrt{29}(\sqrt{27} - \sqrt{7})}{27 - 7} \]

\[ = \frac{\sqrt{29}(\sqrt{27} - \sqrt{7})}{20} \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \( \frac{\sqrt{29}(\sqrt{27} - \sqrt{7})}{20} \).