Question

За круглым столом сидят гномы. Гномы по кругу передают горшок с золотыми монетами. Первый гном взял из горшка 1 монету, второй – 2, третий – 3 и так далее. Каждый следующий брал ровно на одну монету больше. Оказалось, что на четвертом круге гномы суммарно взяли на 507 монет больше, чем на первом. Какое наибольшее количество гномов могло сидеть за столом?

Answer 1

1+2+3+.....+n= x   -  первый круг

(3n+1)+(3n+2)+(3n+3)+.......+(3n+n)=x+507- 4 круг

3n²+x=x+507

n²=169

x=13 - всего гномов

Answer 2

Пусть N - количество гномов, сидящих за столом. Тогда на первом круге гномы взяли суммарно: 1 + 2 + 3 + ... + N монет. На четвертом круге гномы взяли суммарно: (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + ... + (N + N) монет (так как каждый гном берет ровно на одну монету больше, чем предыдущий). По условию задачи, на четвертом круге гномы взяли на 507 монет больше, чем на первом круге: (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + ... + (N + N) - (1 + 2 + 3 + ... + N) = 507. Подставляем формулу для суммы арифметической прогрессии: (2 + 4 + 6 + ... + 2N) - (1 + 2 + 3 + ... + N) = 507. Упрощаем: 2(1 + 2 + 3 + ... + N) - (1 + 2 + 3 + ... + N) = 507. Выражаем сумму арифметической прогрессии: (2N(N+1)/2) - (N(N+1)/2) = 507. Упрощаем: N(N+1) - N(N+1)/2 = 507. N(N+1)/2 = 507. N(N+1) = 1014. Так как мы ищем наибольшее возможное количество гномов, то N должно быть наибольшим целым корнем уравнения N(N+1) = 1014. С помощью калькулятора или программы для решения уравнений можем найти, что такой корень существует и равен 31. Значит, наибольшее возможное количество гномов, сидящих за столом, равно 31.