Question

На сторонах треугольника KLM со стороной KL = 15 отмечены точки E и F так, что ∠LEM = ∠LFK, LE = LF = 8, EM = 9. Прямые KF и EM пересекаются в точке P. Найдите периметр треугольника MPF.

Answer 1

EK=FM=15-8=7
EM - общая сторона
EK=FM
∠KPE=∠MPF как вертикальные
Значит треугольники MPF=KPE
В итоге KF=EM=9
P(MPF)=P(KPE)=9+7=16 см

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. У нас есть треугольник \(KLM\) со стороной \(KL = 15\), а также точки \(E\) и \(F\) на стороне \(KL\) такие, что \(\angle LEM = \angle LFK\), \(LE = LF = 8\), \(EM = 9\). Прямые \(KF\) и \(EM\) пересекаются в точке \(P\).

Чтобы найти периметр треугольника \(MPF\), давайте определим длины его сторон. Обозначим длины сторон треугольника \(MPF\) как \(MP\), \(PF\), и \(MF\).

Из треугольника \(LEM\) мы видим, что \(LE = LF = 8\) и \(\angle LEM = \angle LFK\). Следовательно, треугольники \(LEM\) и \(LFK\) равны по стороне и углу. Это означает, что \(LM\) - биссектриса угла \(\angle KLF\).

Теперь рассмотрим треугольник \(KLP\). Поскольку \(LM\) - биссектриса, по теореме угловой биссектрисы, мы можем сказать, что

\[\frac{KP}{LP} = \frac{KF}{LF}.\]

Имеем:

\[\frac{KP}{LP} = \frac{KP}{KP + PL} = \frac{1}{1 + \frac{PL}{KP}} = \frac{1}{1 + \frac{EM}{LE}} = \frac{1}{1 + \frac{9}{8}} = \frac{8}{17}.\]

Теперь мы знаем, что отношение длин \(KP\) и \(LP\) равно \(8:17\). Мы также знаем, что \(KP + PL = KL = 15\). Подставим значение для \(KP\):

\[KP = \frac{8}{8+17} \times 15 = \frac{8}{25} \times 15 = 4.8.\]

Теперь у нас есть длины \(KP\) и \(PL\), и мы можем вычислить длину \(MF\). Поскольку \(KF\) и \(EM\) пересекаются в точке \(P\), то \(MF\) является высотой треугольника \(KLP\).

Мы можем использовать подобие треугольников \(KLP\) и \(KEM\):

\[\frac{MF}{EM} = \frac{PL}{KP}.\]

Подставим значения:

\[\frac{MF}{9} = \frac{PL}{4.8}.\]

Теперь решим для \(MF\):

\[MF = \frac{9 \times PL}{4.8}.\]

Мы также знаем, что \(PL + KP = 15\), поэтому \(PL = 15 - KP = 15 - 4.8 = 10.2\).

Теперь мы можем вычислить \(MF\):

\[MF = \frac{9 \times 10.2}{4.8} = \frac{91.8}{4.8} = 19.125.\]

Теперь у нас есть длины сторон треугольника \(MPF\): \(MP = KP + MF\) и \(PF = PL\). Вычислим их:

\[MP = 4.8 + 19.125 = 23.925,\]

\[PF = 10.2.\]

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника \(MPF\):

\[MPF = MP + PF = 23.925 + 10.2 = 34.125.\]

Таким образом, периметр треугольника \(MPF\) равен \(34.125\).