Question

Розкласти многочлен x^4+x^2+1 на множники і знайти суму вільних членів многочленів розкладу

Answer 1

$x^4+x^2+1=\dfrac{x^6-1}{x^2-1}=\dfrac{(x^3-1)(x^3+1)}{(x-1)(x+1)}=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

Answer 2

Розклад многочлена на множники

Щоб розкласти многочлен x^4 + x^2 + 1 на множники, спочатку перевіримо, чи має він якісь раціональні корені. Застосуємо теорему Раціональних коренів, яка стверджує, що будь-який раціональний корінь многочлена з цілими коефіцієнтами має вигляд p/q, де p - дільник вільного члена, а q - дільник коефіцієнта при найвищій степені.

У нашому випадку, вільний член многочлена дорівнює 1, тому можливі раціональні корені мають вигляд ±1. Перевіримо їх:

Підставимо x = 1: (1)^4 + (1)^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0

Підставимо x = -1: (-1)^4 + (-1)^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0

Отже, многочлен x^4 + x^2 + 1 не має раціональних коренів. Це означає, що ми не можемо розкласти його на лінійні множники.

Знаходження суми вільних членів многочленів розкладу

Оскільки ми не можемо розкласти многочлен x^4 + x^2 + 1 на лінійні множники, спробуємо розкласти його на квадратичні множники. Для цього скористаємося методом декомпозиції на квадратичні множники.

Не знаючи конкретного розкладу многочлена, ми не можемо точно знайти суму вільних членів многочленів розкладу. Однак, ми можемо встановити, що сума вільних членів розкладу дорівнює вільному члену початкового многочлена.

В нашому випадку, вільний член многочлена x^4 + x^2 + 1 дорівнює 1. Тому сума вільних членів многочленів розкладу також буде дорівнювати 1.

Отже, сума вільних членів многочленів розкладу многочлена x^4 + x^2 + 1 дорівнює 1.

Answer 3

Для розкладання многочлена x^4 + x^2 + 1 на множники, спочатку перевіримо, чи має він раціональні корені. Застосуємо теорему Рафа про раціональні корені.

За теоремою Рафа, раціональний корінь многочлена має вигляд p/q, де p - множник вільного члена (у цьому випадку 1), а q - множник перед найвищою степенем (у цьому випадку 1).

Таким чином, можливі раціональні корені многочлена x^4 + x^2 + 1 будуть виглядати ±1.

Перевіримо, чи є 1 коренем многочлена: (1)^4 + (1)^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0

Перевіримо, чи є -1 коренем многочлена: (-1)^4 + (-1)^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0

Отже, многочлен x^4 + x^2 + 1 не має раціональних коренів. Це означає, що ми не можемо розкласти його на множники з цілими коефіцієнтами.

Тепер знайдемо суму вільних членів многочлена розкладу. Оскільки ми не можемо розкласти многочлен на множники з цілими коефіцієнтами, то сума вільних членів розкладу буде нульовою.

Отже, многочлен x^4 + x^2 + 1 не можна розкласти на множники з цілими коефіцієнтами, а сума вільних членів розкладу дорівнює 0.