Question

Log5 по основанию 2 выразить через a и b если a=log60 по осн. 20 b= 1 / log2 по осн. 3

Answer 1

Используем формулу перехода от одного основания к другому:
log_a (b) = log_c (b) / log_c (a)

Приводим a и b к основанию 2:
a = log_20 (60) = log_2 (60) / log_2 (20) = log_2 (5*3*2^2) / log_2 (5*2^2) =
= (log_2 (5) + log_2 (3) + 2) / (log_2 (5) + 2)
b = 1 / log_3 (2) = 1/ (log_2 (2) / log_2 (3)) = log_2 (3)

В выражение для a можно log_2 (3) заменить на b:
a = (log_2 (5) + b + 2) / (log_2 (5) + 2)

Теперь обозначим x = log_2 (5) и выразим его из последнего выражения:
a = (x + b + 2) / (x + 2)
ax + 2a = x + b +2
ax - x = b - 2a + 2
x (a - 1) = b - 2a + 2
x = (b - 2a + 2) / (a - 1)

В итоге мы получили, что x = log_2 (5) = (b - 2a + 2) / (a - 1), что и требовалось!

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

У вас есть следующие уравнения:

1. \(a = \log_{20} 60\) 2. \(b = \frac{1}{\log_2 3}\)

Задача состоит в том, чтобы выразить \(\log_5\) по основанию 2 через \(a\) и \(b\).

Для начала преобразуем \(a\) и \(b\) в выражения, которые включают логарифмы с основанием 2:

1. Заменяем \(a = \log_{20} 60\): \[a = \frac{\log_2 60}{\log_2 20} = \frac{\log_2 (2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5)}{\log_2 (2 \cdot 2 \cdot 5)}\] Используем свойство логарифма \(\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\): \[a = \frac{\log_2 2 + \log_2 2 + \log_2 3 + \log_2 5}{\log_2 2 + \log_2 2 + \log_2 5}\] Упрощаем, убирая повторяющиеся слагаемые: \[a = \frac{\log_2 3 + \log_2 5}{\log_2 5}\]

2. Заменяем \(b = \frac{1}{\log_2 3}\): Мы знаем, что \(\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b\), поэтому \[b = \frac{1}{\log_2 3} = -\log_2 3\]

Теперь мы хотим выразить \(\log_5\) по основанию 2 через \(a\) и \(b\). Заметим, что \(5 = 2^{\log_2 5}\), поэтому можно воспользоваться свойством логарифма \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\):

\[\log_5 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 5}\]

Таким образом, мы можем выразить \(\log_5\) по основанию 2 через \(a\) и \(b\):

\[\log_5 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 5} = \frac{\log_2 x}{\log_2 (2^{\log_2 5})} = \frac{\log_2 x}{\log_2 2 \cdot \log_2 5} = \frac{\log_2 x}{\log_2 5}\]

Так что, ответ на ваш вопрос:

\[\log_5 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 5} = \frac{\log_2 x}{\log_2 3 + \log_2 5} = \frac{\log_2 x}{a + \log_2 5}\]

Таким образом, выражение \(\log_5\) по основанию 2 через \(a\) и \(b\) равно \(\frac{\log_2 x}{a + \log_2 5}\).