Question

Как называются эти уравнения и как их решать у"+3у'+2у=0

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка (мат.анализ, первый курс). Решается методом составления характеристического уравнения:
λ^2+3λ+2=0
D=1
λ1=(-3+1)2=-1
λ2=-4/2=-2
Ответ:y=C1*e^(-1)+C2*e^(-2)

Answer 2

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

\[ a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]

В вашем случае уравнение:

\[ 3 \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]

Чтобы решить это уравнение, можно предположить, что решение имеет вид \(y = e^{rx}\), где \(r\) - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение и решим для \(r\).

1. Найдем первую и вторую производные \(y\) по \(x\):

\[ \frac{dy}{dx} = re^{rx} \] \[ \frac{d^2y}{dx^2} = r^2e^{rx} \]

2. Подставим их в исходное уравнение:

\[ 3r^2e^{rx} + 2re^{rx} + 2e^{rx} = 0 \]

3. Факторизуем выражение:

\[ e^{rx} (3r^2 + 2r + 2) = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение \(3r^2 + 2r + 2 = 0\) относительно \(r\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = 2^2 - 4(3)(2) = -20\), что отрицательно. Это означает, что уравнение имеет комплексные корни.

\[ r = \frac{-2 \pm i\sqrt{20}}{6} \] \[ r = -\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{5}}{3}i \]

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет:

\[ y(x) = C_1e^{(-1/3 + \sqrt{5}/3)i x} + C_2e^{(-1/3 - \sqrt{5}/3)i x} \]

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий задачи.