Question

Написать уравнение прямой, проходящей через центр окружности x^2+y^2-6x+3y-1=0 параллельно прямой 3x+y-3=0

Answer 1

$x^2+y^2-6x+3y-1=0\\\\(x-3)^2-9+(y+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-1=0\\\\(x-3)^2+(y+1,5)^2=\frac{49}{4}\; \; -\; \; okryznost \\\\centr\; v\; \; C(3;\, -1,5)\; ,\; \; R=\sqrt{ \frac{49}{4} }=\frac{7}{2}=3,5\\\\(x-3)^2+(y+1,5)^2=(3,5)^2\\\\\\l_1:\; \; 3x+y-3=0\; \; \to \; \; \; y=-3x+3\; \; \to \; \; \; k_1=-3\\\\l_1\parallel l_2\; \; \Leftrightarrow \; \; \; k_1=k_2\\\\y=y(x_0)+k\cdot (x-x_0)\\\\C(3;\, -1,5)\; \; \to \; \; x_0=3\; ,\; \; y_0=-1,5\\\\y=-1,5-3(x-3)\\\\\underline {l_2\, :\; \; y=-3x+7,5}$

Answer 2

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельной заданной прямой, нам понадобится учесть несколько важных фактов.

Во-первых, центр окружности можно найти, проанализировав уравнение окружности, которое дано как x^2 + y^2 - 6x + 3y - 1 = 0. Чтобы найти центр окружности, необходимо переписать уравнение окружности в виде (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Для этого необходимо завершить квадраты и сгруппировать однотипные слагаемые:

x^2 - 6x + y^2 + 3y = 1 (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 3y + 9) = 1 + 9 + 9 (x - 3)^2 + (y + 1.5)^2 = 19.5

Таким образом, координаты центра окружности равны h = 3 и k = -1.5, а радиус r = √19.5.

Во-вторых, мы знаем, что прямая, параллельная заданной прямой 3x + y - 3 = 0, будет иметь такое же значение коэффициента наклона.

Итак, заданная прямая имеет коэффициент наклона -3 (так как ее уравнение имеет вид y = -3x + 3).

Таким образом, уравнение искомой прямой будет иметь вид y = -3x + b. Чтобы найти b, мы можем использовать факт, что эта прямая проходит через центр окружности с координатами (3, -1.5). Подставив эти координаты в уравнение прямой, получим:

-1.5 = -3*3 + b -1.5 = -9 + b b = -1.5 + 9 b = 7.5

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через центр окружности x^2 + y^2 - 6x + 3y - 1 = 0 и параллельной прямой 3x + y - 3 = 0, будет иметь вид y = -3x + 7.5.