Question

В варианте олимпиады 8 задач, каждая оценивается в 8 баллов (за задачу можно получить целое число от 0 до 8 баллов включительно). По результатам проверки все участники набрали разное число баллов. Члены оргкомитета втихаря исправили оценки 0 на 6, 1 на 7, 2 на 8. В результате этого участники упорядочились в точности в обратном порядке. Какое наибольшее количество участников могло быть?

Answer 1

1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (сумма 0, после исправления 60)
2. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 (3, 57)
3. 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 (6, 54)
4. 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 (9, 51)
5. 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 (12, 48)
6. 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 (15, 45)
7. 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 (18, 42)
8. 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 (21, 39)
9. 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 (24, 36)
10. 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (27, 33)
11. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (30, 30)

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Имеется 8 задач, каждая из которых оценивается в 8 баллов. Участники набрали разное число баллов, и оценки для некоторых задач были изменены. После изменений участники упорядочились в обратном порядке.

Изначально, если участник набрал 8 баллов за каждую задачу, то его общий балл составит \(8 \times 8 = 64\) балла. Таким образом, максимальный возможный балл участника равен 64 балла.

Теперь рассмотрим изменения в оценках. Члены оргкомитета увеличили оценки для некоторых участников: 0 на 6, 1 на 7, 2 на 8.

- Если участник изначально набрал 0 баллов за задачу, а его оценку исправили на 6, то его баллы за задачи увеличиваются на \(6 - 0 = 6\) баллов. - Аналогично, если участник изначально набрал 1 балл, а его оценку исправили на 7, то его баллы за задачи увеличиваются на \(7 - 1 = 6\) баллов. - Если участник изначально набрал 2 балла, а его оценку исправили на 8, то его баллы за задачи увеличиваются на \(8 - 2 = 6\) баллов.

Таким образом, каждое исправление оценки увеличивает общее количество баллов участника на 6. Поскольку максимальный возможный балл участника составляет 64 балла, максимальное количество исправлений оценок равно \(\frac{64}{6}\), что округляется вниз до 10.8. Таким образом, участник мог получить максимум 10 исправлений.

Теперь рассмотрим, каким образом участники упорядочились в обратном порядке. Изначально, участники были упорядочены по убыванию баллов, и максимальное количество баллов у одного участника составляло 64. Если один участник получил максимальные 64 балла, то следующий участник получил бы на 6 баллов меньше, и так далее.

Таким образом, наибольшее количество участников можно определить, разделив максимальное количество баллов на разницу между максимальным и минимальным количеством баллов, которое может получить участник:

\[\frac{64}{6} \approx 10.67.\]

Так как количество участников должно быть целым числом, наибольшее возможное количество участников равно 10.