Question

На занятиях математического кружка 10 учеников заработали 42 жетона за правильные решения задач. Докажите, что хотя бы 2 ученика заработали ровное количество жетонов. Возможно и по 0

Answer 1

42:10=4(ост2) заработали все кроме двух 2:2=1 заработали 2 ученика

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

Предположим, что все 10 учеников заработали разное количество жетонов. Пусть ученик А заработал больше жетонов, чем ученик Б. В этом случае вычитаем из количества жетонов А количество жетонов Б. Разность будет положительным числом.

Получаем, что ученик А заработал больше жетонов, чем ученик Б, или А - Б > 0.

Воспользуемся тем фактом, что сумма всех заработанных жетонов равна 42:

А - Б + Б - В + В - Г + ... + Ж - И + И - К = 42,

где А, Б, В, ..., К - количество заработанных жетонов каждым учеником.

Сокращаем пары учеников, у которых количество заработанных жетонов одинаковое:

А - Б + В - Г + ... + Ж - И + И - К = 42.

Заметим, что мы можем разделить эту сумму на две части:

(А + В + ... + И) - (Б + Г + ... + К) = 42.

Получили разность двух сумм: сумма заработанных жетонов каждым учеником с четными номерами и сумма заработанных жетонов каждым учеником с нечетными номерами.

Но суммы можно равным образом разделить на две группы:

(А + В + ... + И) = X и (Б + Г + ... + К) = Y,

где X и Y - суммы заработанных жетонов двух групп учеников.

Тогда имеем:

X - Y = 42.

Но разность двух чисел - это либо положительное число, либо ноль, либо отрицательное число. Здесь у нас получается положительное число, так как ученик А заработал больше жетонов, чем ученик Б.

Получили противоречие, так как разность двух сумм не может быть положительным числом при условии, что она равна 42.

Следовательно, наше предположение было неверным, и невозможно, чтобы все 10 учеников заработали разное количество жетонов. Как минимум, два ученика должны заработать одинаковое количество жетонов.