Question

Помогите пожалуйста решить нервенство! cos (x/2 - pi/3) > 1/2

Answer 1

-п/3+2пк<x/2-п/3<п/3+2пк
2пк<x/2<п/3+п/3+2пк |*2
4пк<x<4п/3=4пк

Answer 2

Конечно, я готов помочь. Давайте решим неравенство:

\[ \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{2} \]

Чтобы решить это неравенство, мы будем использовать свойства тригонометрических функций. Давайте начнем с добавления \(\frac{\pi}{3}\) к обеим сторонам неравенства:

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) > \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Значение \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) равно \(\frac{1}{2}\), поэтому у нас остается:

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) > \frac{1}{4} \]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому неравенству, мы должны рассмотреть интервалы, на которых \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\) положителен и больше \(\frac{1}{4}\).

Так как \(\cos(\theta)\) положителен в первом и четвертом квадрантах, мы рассмотрим два случая:

1. Первый квадрант (\(0 < x < 2\pi\)): \[ \frac{x}{2} > 0 \] Таким образом, \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) > 0\). Но мы также хотим, чтобы \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) > \frac{1}{4}\), поэтому это выполняется для всех углов в первом квадранте.

2. Четвертый квадрант (\(2\pi < x < 4\pi\)): \[ \frac{x}{2} - \pi > 0 \] Таким образом, \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) < 0\). Нам нужно также, чтобы \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) > \frac{1}{4}\), что выполняется в том случае, если \(\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}\).

Таким образом, решение неравенства это объединение интервалов:

\[ x \in (0, 2\pi) \cup \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right) + 2\pi k \]

где \(k\) - любое целое число.