Question

Все цифры в десятичной записи числа A являются простыми числами. При этом, Число A делится на 25. Сколько всего таких чисел A?

Answer 1

Только одно и это цифра 5

Answer 2

Чтобы все цифры в десятичной записи числа a были простыми числами, число a может содержать только цифры 2, 3, 5, или 7. Поскольку число a делится на 25, оно также должно делиться на 5^2.

Разложим число 25 на простые множители: 25 = 5^2. Таким образом, чтобы число a делилось на 25, оно должно содержать не менее двух цифр 5.

Рассмотрим различные варианты для количества цифр 5 в числе a.

1) Число a содержит 2 цифры 5. Количество основных простых цифр (2, 3, и 7) в числе a не ограничено. Количество способов выбрать местоположение цифр 5 равно сочетанию из десяти цифр выбираемые две: C(10, 2) = 45. Каждая из оставшихся восьми позиций (включая самый левый разряд числа) может быть заполнена одной из трех основных простых цифр. Таким образом, для каждого из 45 способов размещения цифр 5 существует 3^8 возможностей для размещения остальных цифр. Значит, всего существует 45 * 3^8 чисел a с двумя цифрами 5.

2) Число a содержит 3 цифры 5. Количество основных простых цифр, кроме 5, не ограничено, их может быть 2, 3, или 7. Количество способов выбрать местоположение цифр 5 равно сочетанию из десяти цифр выбираемые три: C(10, 3) = 120. Каждая из оставшихся семи позиций (включая самый левый разряд числа) может быть заполнена одной из трех возможных основных простых цифр. Таким образом, для каждого из 120 способов размещения цифр 5 существует 3^7 возможностей для размещения остальных цифр. Значит, всего существует 120 * 3^7 чисел a с тремя цифрами 5.

3) Число a содержит 4 цифры 5. Аналогично предыдущим случаям, количество возможных чисел a с четырьмя цифрами 5 равно сочетанию из десяти цифр выбираемые четыре: C(10, 4) = 210. Каждая из шести позиций (включая самый левый разряд числа) может быть заполнена одной из трех возможных основных простых цифр. Таким образом, для каждого из 210 способов размещения цифр 5 существует 3^6 возможностей для размещения остальных цифр. Значит, всего существует 210 * 3^6 чисел a с четырьмя цифрами 5.

Всего существует 45 * 3^8 + 120 * 3^7 + 210 * 3^6 чисел a, удовлетворяющих обоим условиям. Это будет окончательным ответом.