Question

Укажите наименьшее число едениц в записи числа 11...1,если известно что оно делится на 41

Answer 1

Если должно получиться целое число то 11111/41=271.
Значит наименьшее кол-во единиц будет 5

Answer 2

Чтобы найти наименьшее число единиц в записи числа 11...1 (некоторое количество единиц), которое делится на 41, нужно использовать деление с остатком.

Деление числа, состоящего только из единиц 11...1, на 41 можно выразить следующим образом:

11...1 = 10^k + 10^(k-1) + ... + 10^2 + 10^1 + 10^0,

где k - количество цифр единиц в числе.

Заметим, что 10^n равно 1 с последующими нулями, поэтому представление 11...1 можно переписать как:

11...1 = (10^k - 1) / 9.

Так как число делится на 41, необходимо найти минимальное k, при котором (10^k - 1) / 9 делится на 41.

10^k - 1 должно иметь остаток 0 при делении на 9, поэтому оно должно иметь остаток 1 при делении на 41. То есть,

10^k ≡ 1 (mod 41).

Мы можем использовать малую теорему Ферма, которая утверждает, что если p - простое число, и a не делится на p, тогда a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Применяя эту теорему к числу 10 и числу 41, мы получаем следующее:

10^(40) ≡ 1 (mod 41).

Таким образом, мы можем сделать выборку значений k следующим образом:

10^1 ≡ 10, 10^2 ≡ 21, 10^3 ≡ 31, 10^4 ≡ 9, 10^5 ≡ 37, 10^6 ≡ 16, 10^7 ≡ 26, 10^8 ≡ 6, 10^9 ≡ 36, 10^10 ≡ 15, 10^11 ≡ 25, 10^12 ≡ 5, 10^13 ≡ 35, 10^14 ≡ 14, 10^15 ≡ 24, 10^16 ≡ 4, 10^17 ≡ 34, 10^18 ≡ 13, 10^19 ≡ 23, 10^20 ≡ 3, 10^21 ≡ 33, 10^22 ≡ 12, 10^23 ≡ 22, 10^24 ≡ 2, 10^25 ≡ 32, 10^26 ≡ 11, 10^27 ≡ 21, ...

Мы видим, что период длинной 20 начинается с 10^1 ≡ 10.

Заметим, что последовательность начинается с 10^1, поэтому мы можем использовать следующий метод для нахождения наименьшего k:

1) Находим остаток 10 при делении на 41.

2) Последовательно возводим 10 в степень и вычисляем остаток от деления на 41 до тех пор, пока не получим остаток 1.

Таким образом, мы можем найти наименьшее k равным 20.

Следовательно, наименьшее число единиц в записи числа 11...1, которое делится на 41, равно 20.