Question

помогите решить интегрирование по частям int sqrtx lnx dx

Answer 1

$\int{\sqrt{x}lnx}\, dx$

$U=lnx$

$dU=\frac{1}{x}dx$

$V=\frac{2}{3}*\sqrt{x^3}$

$\int{\sqrt{x}lnx}\, dx=\frac{2}{3}*\sqrt{x^3}lnx-\int{\frac{2}{3}\sqrt{x^3}}\, dx=\frac{2}{3}*\sqrt{x^3}lnx-\int{\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\frac{1}{x}}\, dx=\frac{2}{3}*\sqrt{x^3}lnx-\frac{4}{9}\sqrt{x^3}+C$

Answer 2

∫ √x ln x dx =

√x = t →
x = t² → dx = 2t dt
∫ √x ln x dx = ∫ t ln (t²) (2t dt) =
∫ 2t² ln (t²) dt =
(t²) = u and 2t²dt = dv;
(2t / t²) dt = (2 / t) dt = du

 2(t²⁺¹)/(2+1) = (2/3)t³ = v


∫ 2t² ln (t²) dt = (2/3)t³ ln (t²) - ∫ (2/3)t³ (2/ t) dt =
(2/3)t³ ln (t²) - (4/3) ∫ (t³/ t) dt =
(2/3)t³ ln (t²) - (4/3) ∫ t² dt =
(2/3)t³ ln (t²) - (4/3)(t²⁺¹)/(2+1) + c =
(2/3)t³ ln (t²) - (4/3)(1/3)t³+ c =
(2/3)t³ ln (t²) - (4/9)t³+ c 
 t = √x
∫ √x ln x dx = (2/3)√x³ ln (√x²) - (4/9)√x³+ c = 
(2/3)x√x ln x - (4/9)x√x + c

Answer 3

Конечно, давайте решим данное интеграл по частям. Интегрирование по частям определяется формулой:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

где \(u\) и \(v\) - две функции, их производные по \(x\) обозначаются как \(du\) и \(dv\) соответственно. Давайте выберем:

\[ u = \ln(x), \quad dv = \sqrt{x} \, dx \]

Тогда:

\[ du = \frac{1}{x} \, dx, \quad v = \frac{2}{3} x^{3/2} \]

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

\[ \begin{align*} \int \sqrt{x} \ln(x) \, dx &= uv - \int v \, du \\ &= \ln(x) \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \int \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= \frac{2}{3}x^{3/2} \ln(x) - \frac{2}{3} \int x^{1/2} \, dx \\ &= \frac{2}{3}x^{3/2} \ln(x) - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C, \end{align*} \]

где \(C\) - константа интегрирования. Таким образом, окончательный ответ:

\[ \int \sqrt{x} \ln(x) \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln(x) - \frac{4}{9}x^{3/2} + C, \]

где \(C\) - константа интегрирования.