Question

Доказать что в любом шестизначном числе десятичная запись которого не содержит нулей можно зачеркнуть несколько цифр так что получившееся в результате этого число будет делиться на 1001

Answer 1

вообще, число делится на 1001, если оно делится на 11 и на 7 и на 13. вот доказать не могу

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим любое шестизначное число, представленное в виде \(ABCDEF\), где каждая буква обозначает одну цифру.

\[ABCDEF = 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F\]

Поскольку мы предполагаем, что число не содержит нулей, то каждая из цифр \(A, B, C, D, E, F\) должна быть от 1 до 9.

Теперь давайте выразим это число в виде разности двух чисел:

\[ABCDEF = 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F\] \[= 99999A + A + 9999B + B + 999C + C + 99D + D + 9E + E + F\] \[= 9999(9A + B + 1111C + 11D + E) + (A + B + C + D + E + F)\]

Таким образом, мы можем выразить шестизначное число как сумму двух слагаемых: первое слагаемое - это число, делящееся на 9 (поскольку 9999 делится на 9), а второе слагаемое - это сумма цифр исходного числа.

Теперь давайте рассмотрим число, представленное в виде:

\[9999(9A + B + 1111C + 11D + E) + (A + B + C + D + E + F)\]

Мы можем утверждать, что данное число делится на 9, так как первое слагаемое делится на 9. Мы также можем утверждать, что данное число делится на 11, так как разность сумм цифр на четных и нечетных позициях (справа налево) также делится на 11.

Таким образом, данное число делится и на 9, и на 11, и, следовательно, на их произведение \(9 \times 11 = 99\). Следовательно, мы можем зачеркнуть некоторые цифры в исходном шестизначном числе так, чтобы получившееся число делилось на 1001 (поскольку 1001 равно 9 * 11 * 11).