Question

Решите уравнение: sin4x+sinx=sin3x+sin2x

Answer 1

Применены : формула преобразования суммы в произведение, табличные значения синуса

Answer 2

Для решения уравнения sin4x + sinx = sin3x + sin2x можно использовать формулы сложения и вычитания синусов:

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ

Применив эти формулы, получим:

sin4x + sinx = sin3x + sin2x

sin(4x + x) cos(4x - x) + sin(3x + 2x) cos(3x - 2x) = 0

sin(5x) cos(3x) + sin(5x) cos(x) = 0

sin(5x) (cos(3x) + cos(x)) = 0

Отсюда следует, что sin(5x) = 0 или cos(3x) + cos(x) = 0.

Первое уравнение имеет решения вида x = kπ/5, где k - целое число.

Второе уравнение можно преобразовать с помощью формулы сложения косинусов:

cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ

cos(3x) + cos(x) = 0

2 cos(3x + x)/2 cos(3x - x)/2 = 0

cos(2x) cos(x) = 0

Отсюда следует, что cos(2x) = 0 или cos(x) = 0.

Первое уравнение имеет решения вида x = (2k + 1)π/4, где k - целое число.

Второе уравнение имеет решения вида x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Объединяя все решения, получаем общее решение уравнения:

x = kπ/5 или x = (2k + 1)π/4 или x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Вы можете найти больше информации о решении таких уравнений на этих сайтах:

[How do you solve #Sin x + Sin 2x + Sin 3x + Sin 4x = 0#?](https://socratic.org/questions/how-do-you-solve-sin-x-sin-2x-sin-3x-sin-4x-0)

[Solve sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 | Microsoft Math Solver](https://mathsolver.microsoft.com/en/solve-problem/%60sin%20x%20%2B%20%60sin%202%20x%20%2B%20%60sin%203%20x%20%2B%20%60sin%204%20x%20%3D%200)

[Doubt Solutions - Maths, Science, CBSE, NCERT, IIT JEE, NEET](https://www.doubtnut.com/question-answer/solve4sinx-sin2x-sin4x-sin3x-229937)

[Solve sin(x)+sin(2x)-sin(3x)=0 | Microsoft Math Solver](https://mathsolver.microsoft.com/en/solve-problem/%60sin%20%28%20%20x%20%20%20%29%20%20%2B%20%60sin%20%28%20%202x%20%20%20%29%20%20-%20%60sin%20%28%20%203x%20%20%20%29%20%20%3D0)