Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НАИБОЛЕЕ РАЦИОНАЛЬНЫМ И ДОВОЛЬНО КОРОТКИМ СПОСОБОМ! (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*...*(1-1/225) В скобках натуральное число минус дробь,а не натуральное число минус деление.

Answer 1

$(1-\frac{1}{4})*(1-\frac{1}{9})*(1-\frac{1}{16})*...*(1-\frac{1}{225})=$
$(1-\frac{1}{2^2})*(1-\frac{1}{3^2})*(1-\frac{1}{4^2})*...*(1-\frac{1}{15^2})=$
$\frac{2^2-1^2}{2^2}*\frac{3^2-1^2}{3^2}*\frac{4^2-1^2}{4^2}*....*\frac{15^2-1^2}{15^2}=$
$\frac{(2-1)*(2+1)*(3-1)*(3+1)*(4-1)*(4+1)*....*(15-1)*(15+1)}{2^2*3^2*4^2*...*15^2}$
$=\frac{1*3*2*4*3*5*...*11*13*12*14*13*15*14*16}{2^2*3^2*4^2*...*15^2}=$
$\frac{1*2*3^2*4^2*....*11^2*12^2*13^2*14^2*15*16}{2^2*3^2*4^2*...*15^2}=$
$\frac{1*2*15*16}{2^2*15^2}=\frac{8}{15}$

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно вычислить значение выражения (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*...*(1-1/225), где в скобках находится натуральное число минус дробь, а не натуральное число минус деление.

Решение:

Мы можем заметить, что каждое слагаемое в скобках представляет собой разность единицы и обратного значения квадрата натурального числа. То есть, каждое слагаемое можно записать как (1 - 1/n^2), где n - натуральное число.

Теперь мы можем преобразовать выражение следующим образом: (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*...*(1-1/225) = (1 - 1/2^2)*(1 - 1/3^2)*(1 - 1/4^2)*...*(1 - 1/15^2)

Мы можем заметить, что каждое слагаемое в скобках представляет собой разность двух квадратов. Мы можем использовать формулу разности квадратов для упрощения выражения.

Формула разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Применяя формулу разности квадратов к каждому слагаемому, мы получим: (1 - 1/2^2)*(1 - 1/3^2)*(1 - 1/4^2)*...*(1 - 1/15^2) = ((1 + 1/2)(1 - 1/2))*((1 + 1/3)(1 - 1/3))*((1 + 1/4)(1 - 1/4))*...*((1 + 1/15)(1 - 1/15))

Заметим, что в каждом слагаемом в скобках, сомножители (1 + 1/n) и (1 - 1/n) сокращаются, оставляя только 1. Таким образом, выражение упрощается до: ((1 + 1/2)(1 - 1/2))*((1 + 1/3)(1 - 1/3))*((1 + 1/4)(1 - 1/4))*...*((1 + 1/15)(1 - 1/15)) = 1

Таким образом, значение данного выражения равно 1.

Ответ: 1