Question

Пусть mnmn — положительная несократимая дробь. На какое наибольшее число может быть сократима дробь 2m+3n/7m+2n

Answer 1

Пусть 2m + 3n = rp, 7m + 2n = rq, НОД(p, q) = 1, при этом дробь сократима на r.

Выражаем m, n через r, p, q:

m = (3q - 2p)*r/17
n = (7p - 2q)*r/17

По условию m/n - положительная несократимая дробь, поэтому НОД(m, n) = 1. Чтобы m, n были взаимно просты, r должно быть равно 1 (и 3q - 2p, 7p - 2q делятся на 17), или r = 17; в противном случае оба числа делятся на какой-то делитель r.

r = 17 будет, например, если m/n = 1/5, тогда (2m+3n)/(7m+2n)=17/17.

Answer 2

Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте рассмотрим дробь 2m + 3n / 7m + 2n, где m и n - положительные целые числа.

Для того чтобы определить, может ли данная дробь быть сократимой, мы должны выяснить, существуют ли такие значения m и n, при которых числитель и знаменатель имеют общие делители, отличные от 1.

Для начала, давайте разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель: 2m + 3n Знаменатель: 7m + 2n

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

2m - это произведение простых множителей 2 и m. 3n - это произведение простых множителей 3 и n. 7m - это произведение простых множителей 7 и m. 2n - это произведение простых множителей 2 и n.

Как мы видим, числитель и знаменатель имеют общий делитель m и общий делитель n. Однако, чтобы дробь была сократимой, необходимо, чтобы общие делители числителя и знаменателя были больше чем 1.

Таким образом, наибольшее число, на которое может быть сократима данная дробь, это наименьший из общих делителей числителя и знаменателя.

Пример: Пусть m = 2 и n = 3. Тогда числитель будет равен 2 * 2 + 3 * 3 = 4 + 9 = 13, а знаменатель будет равен 7 * 2 + 2 * 3 = 14 + 6 = 20. В этом случае, числитель и знаменатель не имеют общих делителей, отличных от 1, и дробь не может быть сократимой.

Таким образом, наибольшее число, на которое может быть сократима дробь 2m + 3n / 7m + 2n, равно 1.