Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5-x^2, y=1

Answer 1

Найдем пределы интегрирования
5-х²=1
4-х²=0
(2-х)(2+х)=0
х=2  х=-2
S=$\int\limits( 4-{x^2} )\, dx =4x-x^3/3=8-8/3+8-8/3=16-16/3=32/3$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нам сначала нужно найти точки пересечения этих кривых. В данном случае нам даны две кривые: y = 5 - x^2 и y = 1.

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых, приравняв уравнения:

5 - x^2 = 1

Вычтем 1 из обеих сторон:

4 - x^2 = 0

Теперь перенесем -x^2 на другую сторону:

x^2 = 4

Извлекая квадратный корень, получим:

x = ±2

Таким образом, точки пересечения кривых находятся при x = -2 и x = 2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы будем интегрировать выражение y = 5 - x^2 по x от -2 до 2.

Формула для вычисления площади между двумя кривыми по оси x выглядит следующим образом:

A = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - это значения x, на которых происходит пересечение кривых, f(x) и g(x) - это соответствующие значения y для каждой кривой.

Таким образом, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

A = ∫[-2,2] (5 - x^2 - 1) dx

A = ∫[-2,2] (4 - x^2) dx

A = [4x - (1/3)x^3] from -2 to 2

Вычислим это выражение:

A = [4(2) - (1/3)(2)^3] - [4(-2) - (1/3)(-2)^3]

A = [8 - (8/3)] - [-8 - (8/3)]

A = 8/3 - (-8/3)

A = 16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 5 - x^2 и y = 1, равна 16/3 или приблизительно 5.33 квадратных единиц.