Question

Из вершины A прямоугольника ABCD стороны которого AB=9 см, AD=8 см восстановлен к плоскости прямоугольника перпендикуляр AM=12 см. Вычислить расстояние точки M до остальных вершин треугольника.

Answer 1

$BM= \sqrt{ 12^{2}+ 9^{2} } = \sqrt{144+81} = \sqrt{225}=15$
$DM= \sqrt{ 12^{2} + 8^{2} } = \sqrt{144+64} = \sqrt{208} =4 \sqrt{13}$
$AC=DB= \sqrt{64+81} = \sqrt{145}$
$CM= \sqrt{ 12^{2}+ (\sqrt{145}) ^{2} }= \sqrt{144+145} = \sqrt{289}= 17$

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольник ABCD, где AB = 9 см, AD = 8 см, и AM - высота, опущенная из вершины A на плоскость прямоугольника. Мы также знаем, что AM = 12 см.

1. Вычислим длину стороны BC:

Используем теорему Пифагора, так как треугольник ABC прямоугольный:

\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\]

Нам известно, что \(AB = 9\) см и \(AD = 8\) см, и мы можем выразить AC через AM:

\[AC^2 = AM^2 - MC^2\]

Так как MC это проекция AM на плоскость прямоугольника, а MC = AD, то \(AC^2 = AM^2 - AD^2\).

Теперь мы можем вычислить AC:

\[AC = \sqrt{AM^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \, \text{см}\]

Теперь можем вычислить BC:

\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{81 + 80} = \sqrt{161} \, \text{см}\]

2. Вычислим длину стороны AC:

Используем теорему Пифагора для треугольника ACD:

\[AC = \sqrt{AD^2 + CD^2}\]

Мы знаем, что \(AD = 8\) см и \(CD = BC\). Так что:

\[AC = \sqrt{8^2 + (\sqrt{161})^2} = \sqrt{64 + 161} = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}\]

3. Вычислим длину стороны AM:

У нас уже есть значение AM - высоты, опущенной из вершины A:

\[AM = 12 \, \text{см}\]

4. Вычислим расстояние от точки M до остальных вершин треугольника:

- До вершины A: Это сама высота AM, которая уже известна и равна \(12 \, \text{см}\).

- До вершины B: Это проекция AM на сторону BC, и она равна \(MC = AD = 8 \, \text{см}\).

- До вершины C: Это проекция AM на сторону AC, и она равна \(AC = 15 \, \text{см}\).

- До вершины D: Это проекция AM на сторону AD, и она равна \(MD = BC = \sqrt{161} \, \text{см}\).

Таким образом, расстояния от точки M до остальных вершин треугольника:

\[MA = 12 \, \text{см}, \quad MB = 8 \, \text{см}, \quad MC = 15 \, \text{см}, \quad MD = \sqrt{161} \, \text{см}\]