Question

Решите уравнения!! 1+cosx=2cosx/2 2sin²x+3cosx=0 Cпасибо за внимание!

Answer 1

Sin²x/2+cos²x/2+cos²x/2-sin²x/2-2cosx/2=0
2cos²x/2-2cosx/2=0
2cosx/2(cosx/2-1)=0
cosx/2=0⇒x/2=π/2+πn⇒x=π+2πn
cosx/2=1⇒x/2=2πn⇒x=4πn

2-2cos²x+3cosx=0
cosx=a
a²-3a-2=0
D=9+8=17
a1=(3-√17)/2⇒cosx=(3-√17)/2⇒x=+-arccos(3-√17)/2+2πn
a2=(3+√17)/2⇒cosx=(3+√17)/2∉[-1;1] нет решения

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди.

1. Уравнение \(1 + \cos(x) = 2\cos\left(\frac{x}{2}\)\):

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[2\cos\left(\frac{x}{2}\) - \cos(x) - 1 = 0\]

Теперь преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества. Заметим, что \(\cos\left(\frac{x}{2}\)\) можно представить как \(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\) - 1\). Тогда уравнение примет вид:

\[4\cos^2\left(\frac{x}{2}\) - 2\cos\left(\frac{x}{2}\) - \cos(x) - 1 = 0\]

Обозначим \(\cos\left(\frac{x}{2}\) = t\), тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:

\[4t^2 - 2t - (\cos(x) + 1) = 0\]

Решим это уравнение относительно \(t\). Дискриминант этого уравнения равен \(b^2 - 4ac\), где \(a = 4\), \(b = -2\), и \(c = -(\cos(x) + 1)\). Если дискриминант положителен, то у уравнения есть два корня, если равен нулю, то один корень, и если отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

2. Уравнение \(2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0\):

Это уравнение также можно преобразовать, используя тригонометрические тождества. Заметим, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Тогда уравнение можно записать как:

\[2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Решим его, как мы делали в первом уравнении.

После нахождения корней уравнений, не забудьте проверить их в исходных уравнениях, так как в процессе решения мы вводили подстановки и предположения.