Question

Как решить иррациональное уравнение? 1)√x-1 = x-3 2)√3-2x-√1-x=1

Answer 1

1) Область определения для корня: x >= 1
Уравнение просто, возводим все в квадрат
x - 1 = (x - 3)^2
x - 1 = x^2 - 6x + 9
x^2 - 7x + 10 = 0
x1 = 2, x2 = 5
Корень x  = 2 - лишний, при этом левая часть равна 1, а правая -1.
Ответ: 5

2) Область определения:
3 - 2x >= 0 ; x <= 1,5
1 - x >= 0 ; x <= 1
Итого: x <= 1
Уравнение сложнее, сначала разделим корни
√(3 - 2x) = √(1 - x) + 1
Возводим все в квадрат
3 - 2x = 1 - x + 2√(1 - x) + 1
2√(1 - x) = 1 - x = [√(1 - x) ]^2
Нам повезло, а то пришлось бы второй раз в квадрат возводить.
1) √(1 - x) = 0; x1 = 1 <= 1
2) √(1 - x) = 2
1 - x = 4
x2 = -3 <= 1
Оба корня подходят.
Ответ: x1 = 1; x2 = -3

Answer 2

Для решения иррациональных уравнений, как ваши примеры, мы должны следовать некоторым шагам. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем их решения.

Решение уравнения 1: √x - 1 = x - 3

Для начала, возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(√x - 1)^2 = (x - 3)^2

Раскроем скобки:

x - 2√x + 1 = x^2 - 6x + 9

Теперь перенесем все термины на одну сторону уравнения:

x^2 - 7x + 8 - 2√x = 0

Теперь мы имеем иррациональное уравнение вида x^2 - 7x + 8 - 2√x = 0. Такие уравнения сложно решить аналитически, не применяя численные методы или графическое представление. Можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенное решение этого уравнения.

Решение уравнения 2: √3 - 2x - √(1 - x) = 1

Аналогично предыдущему уравнению, первым шагом будет возведение обоих выражений в квадрат:

(√3 - 2x - √(1 - x))^2 = 1^2

Раскроем скобки:

3 - 4√3x + 4x^2 + 1 - 2x√(1 - x) - 2x√(1 - x) + 4x(1 - x) = 1

Упростим:

4x^2 - 8√3x + 4x - 4x√(1 - x) + 4x - 4x^2 = 0

Теперь у нас есть уравнение 4x^2 - 8√3x + 4x - 4x√(1 - x) + 4x - 4x^2 = 0. Как и в предыдущем примере, это иррациональное уравнение, и его решение может потребовать использования численных методов или графического представления.