Question

Найти площадь фигуры , ограниченной линиями у =х^3, у=х^2

Answer 1

$\int\limits^1_0 {( x^{2} - x^{3}) } \, dx = \frac{1}{12}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^3\) и \(y = x^2\), нужно найти точки их пересечения и определить интервалы, на которых одна из функций находится выше другой. Площадь фигуры затем можно вычислить как разность интегралов функций на соответствующих интервалах.

Для начала найдем точки пересечения обеих функций, то есть значения \(x\), при которых \(x^3 = x^2\):

\[ x^3 - x^2 = 0 \]

Таким образом, \(x^2(x-1) = 0\). Решениями этого уравнения являются \(x = 0\) и \(x = 1\).

Теперь мы можем определить интервалы, на которых одна из функций находится выше другой. Рассмотрим три интервала: \((- \infty, 0)\), \((0, 1)\) и \((1, +\infty)\).

1. Для интервала \((- \infty, 0)\): Подставим \(x = -1\) (произвольное число меньше 0) в обе функции: - \(y = (-1)^3 = -1\) - \(y = (-1)^2 = 1\)

Таким образом, на этом интервале \(y = x^2\) находится выше \(y = x^3\).

2. Для интервала \((0, 1)\): Подставим \(x = 0.5\) (произвольное число между 0 и 1) в обе функции: - \(y = (0.5)^3 = 0.125\) - \(y = (0.5)^2 = 0.25\)

На этом интервале \(y = x^2\) все еще находится выше \(y = x^3\).

3. Для интервала \((1, +\infty)\): Подставим \(x = 2\) (произвольное число больше 1) в обе функции: - \(y = 2^3 = 8\) - \(y = 2^2 = 4\)

На этом интервале \(y = x^3\) находится выше \(y = x^2\).

Таким образом, фигура ограничена двумя вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = 1\), а площадь между графиками функций на интервалах \((- \infty, 0)\) и \((0, 1)\) составляет площадь фигуры.

Теперь, чтобы найти эту площадь, вычислим интеграл разности функций \(x^2 - x^3\) на интервале \((- \infty, 0)\) и \((0, 1)\):

\[ \text{Площадь} = \int_{-\infty}^{0} (x^2 - x^3) \,dx + \int_{0}^{1} (x^3 - x^2) \,dx \]

Вычисление этого интеграла даст вам значение площади фигуры. Я могу предоставить численный ответ, если это необходимо.