Question

Из 14 разноцветных шариков ( 4 красных, 7 синих, 3 зелёных) наугад выбрали 2 шарика. Найдите вероятности событий: К) оба шарика красные; С) оба синие шарики; З) оба шарика зелёные; А) один шарик красный и один синий; Б) один шарик красный и один зелёный; В) 1 шарик синий и один зелёный.

Answer 1

$P(K)= \frac{C_4^2}{C_{14}^2}= \frac{ \frac{4!}{2!2!} }{ \frac{14!}{2!12!} }= \frac{6}{7*13}= \frac{6}{91}\\\\P(C)= \frac{C_7^2}{C_{14}^2}= \frac{ \frac{7!}{2!5!} }{91}= \frac{21}{91}\\\\P(3)= \frac{C_3^2}{C_{14}^2}= \frac{3}{91}\\\\P(A)= \frac{4*7}{C_{14}^2}= \frac{28}{91}\\\\P(B)= \frac{4*3}{C_{14}^2}= \frac{12}{91}\\\\P(C)= \frac{7*3}{C_{14}^2}= \frac{21}{91}$

Answer 2

Для решения задачи используем формулу вероятности:

\[ P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов для события A}}{\text{Общее количество возможных исходов}} \]

Общее количество возможных исходов при выборе 2 шариков из 14 равно \(\binom{14}{2} = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14 \times 13}{2} = 91\).

К тому же, будем использовать обозначения:

\(R\) - красный шарик, \(B\) - синий шарик, \(G\) - зелёный шарик.

Теперь рассмотрим каждое событие:

К) Оба шарика красные (\(RR\)): \[ P(K) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{14}{2}} = \frac{6}{91} \]

С) Оба шарика синие (\(BB\)): \[ P(C) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{14}{2}} = \frac{21}{91} \]

З) Оба шарика зелёные (\(GG\)): \[ P(Z) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{14}{2}} = \frac{3}{91} \]

А) Один красный и один синий (\(RB\) или \(BR\)): \[ P(A) = \frac{\binom{4}{1} \times \binom{7}{1}}{\binom{14}{2}} = \frac{4 \times 7}{91} = \frac{28}{91} \]

Б) Один красный и один зелёный (\(RG\) или \(GR\)): \[ P(B) = \frac{\binom{4}{1} \times \binом{3}{1}}{\binom{14}{2}} = \frac{4 \times 3}{91} = \frac{12}{91} \]

В) Один синий и один зелёный (\(BG\) или \(GB\)): \[ P(V) = \frac{\binom{7}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{14}{2}} = \frac{21 \times 3}{91} = \frac{63}{91} \]

Итак, мы нашли вероятности каждого из событий:

\[ P(K) = \frac{6}{91} \] \[ P(C) = \frac{21}{91} \] \[ P(Z) = \frac{3}{91} \] \[ P(A) = \frac{28}{91} \] \[ P(B) = \frac{12}{91} \] \[ P(V) = \frac{63}{91} \]