Question

Найти точку Q, симметричную точке p (5;13) относительно прямой 2х-3у-3=0

Answer 1

Ax + By + C = 0
Направляющий вектор этой прямой s={A,B}={2;-3}. Значит, нормальный вектор будет n={3;2}
Вектор нормали перпендикулярный к даной прямой. Значит
  3x + 2y + c = 0
По условию P(-5;13), откуда х=-5 и у=13. Подставим
3 * (-5) + 2* 13 + C = 0
-15 + 26 + C = 0
C = -11

3x+2y-11=0

Найдем точку пересения этих прямых
{3x+2y-11=0    (1)
{2x-3y-3=0   (2)
(1)-(2)
{x + 5y - 8 = 0 ⇒ x=8-5y
{2x - 3y -3 = 0

2(8-5y) - 3y -3 = 0
16 - 10y - 3y - 3 =0
13 - 13 y = 0
y = 1
x=3

O(3;1)

Поскольку Q - симметрична точке Р, значит точка О - средина отрезка

3 = (-5+x)/2;   ⇒ x=11
1=(13+y)/2    ⇒ y=-11

Q(11;-11) - Ответ

Answer 2

Чтобы найти точку \( Q \), симметричную точке \( P(5,13) \) относительно прямой \(2x - 3y - 3 = 0\), мы можем воспользоваться формулой для симметрии относительно прямой.

Уравнение прямой имеет вид \(Ax + By + C = 0\), где \(A = 2\), \(B = -3\) и \(C = -3\). Формула для симметрии точки \((x_0, y_0)\) относительно прямой \(Ax + By + C = 0\) выглядит следующим образом:

\[ x' = x_0 - \frac{2Ax_0 + 3By_0 + 3C}{A^2 + B^2} \] \[ y' = y_0 - \frac{3Ax_0 - 2By_0 + 3C}{A^2 + B^2} \]

В данном случае, \(x_0 = 5\) и \(y_0 = 13\). Подставим значения:

\[ x' = 5 - \frac{2 \cdot 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-3) \cdot 13 + 3 \cdot (-3)}{2^2 + (-3)^2} \] \[ y' = 13 - \frac{3 \cdot 2 \cdot 5 - 2 \cdot (-3) \cdot 13 + 3 \cdot (-3)}{2^2 + (-3)^2} \]

Вычислим значения:

\[ x' = 5 - \frac{-20 - 117 - 9}{13} = 5 + \frac{146}{13} = 5 + \frac{73}{13} = \frac{90}{13} \] \[ y' = 13 - \frac{30 + 78 - 9}{13} = 13 - \frac{99}{13} = \frac{140}{13} \]

Таким образом, точка \( Q \) симметрична точке \( P(5,13) \) относительно прямой \(2x - 3y - 3 = 0\) и имеет координаты \( Q\left(\frac{90}{13}, \frac{140}{13}\right) \).