Question

Исследовать на непрерывность функцию y=x-3x2 .Спосибо заранее.Сложная тема.

Answer 1

Общее решение непрерывности функции на |R.
$|x-3x^2-x_0+3x_0^2|=|(x-x_0)-3(x-x_0)(x+x_0)|=$$|x-x_0||1-3(x+x_0)|$
Пусть δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-1)|}$, тогда:
$|x-x_0|<$ δ $<1$ получаем:
$|x-x_0||1-3(x+x_0)|<$δ $|1-3(x_0-1)|$=$\frac{e}{|1-3(x_0-1)|}*|1-3(x_0-1)|=e$

Частный случай: $x_0=\frac{4}{3}$ (тогда в знаменателе получим 0). Сокращаем область для δ до $(x_0-\frac{1}{3},x_0+\frac{1}{3}$ и назначим δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-\frac{1}{2})|}$

Получаем что для любого$x_0 \in |R- \{\frac{4}{3}\}$выполняется: для любого ε есть δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-1)|}$ (в дроби константа) так, что:
$|x-x_0|<$ δ $=>|f(x)-f(x_0)|<$ε
А для частного случая: для любого ε есть δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-\frac{1}{2})|}$ так, что:
$|x-x_0|<$ δ $=>|f(x)-f(x_0)|<$ε

Answer 2

Исследование на непрерывность функции включает в себя рассмотрение её определения на всей области определения. Непрерывная функция - это функция, у которой предел существует в каждой точке области определения, и значение функции в этой точке совпадает с пределом.

Дана функция \( y = x - 3x^2 \). Давайте проанализируем её непрерывность.

1. Определение области определения: Область определения - это множество значений аргумента, для которых функция определена. Для квадратичной функции, как у нас, область определения - это вся числовая прямая, то есть \( (-\infty, +\infty) \).

2. Нахождение пределов: Для исследования на непрерывность нужно рассмотреть пределы функции в каждой точке области определения. Для нашей функции пределы можно находить с помощью алгебраических методов или правил Лопиталя.

Найдем предел функции при \( x \to a \): \[ \lim_{{x \to a}} (x - 3x^2) \]

После нахождения предела нужно сравнить его с значением функции в точке \( a \). Если они совпадают, то функция непрерывна в этой точке.

3. Проверка на совпадение предела и значения в точке: Если предел функции существует и равен значению функции в каждой точке области определения, то функция непрерывна на всей числовой прямой.

В данном случае, у нас квадратичная функция, и пределы во всех точках существуют. Таким образом, функция \( y = x - 3x^2 \) непрерывна на всей числовой прямой.

Также, если вы хотите более подробно изучить непрерывность в какой-то конкретной точке или интервале, уточните, и я могу предоставить более детальное исследование.