Question

Подайте число 60 у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб сума їх квадратів була найменшою Тільки, якщо можна, то повне рішення

Answer 1

Х+у=60
х^2+у^2=?
у=60-х
х^2+(60-х)^2=?

Answer 2

Щоб знайти суму двох додатних чисел, для яких сума їх квадратів буде найменшою, ми можемо використовувати математичний підхід. Давайте розглянемо кроки для знаходження рішення:

1. Представимо число 60 як суму двох додатних чисел: x і y, де x > 0 і y > 0. 60 = x + y

2. Знайдемо вираз для суми їх квадратів: S = x^2 + y^2

3. Застосуємо метод оптимізації, а саме, знайдемо мінімум функції S відносно змінних x і y.

4. Застосуємо метод підстановки, заміни x у виразі для суми квадратів залежно від y (або навпаки), щоб отримати одне з виразів залежності S від однієї змінної.

5. Знайдемо похідну від цього виразу та прирівняємо її до нуля, щоб знайти критичні точки.

6. Порівняємо значення S в цих критичних точках, щоб знайти найменше значення S.

Давайте розглянемо кожен крок більш детально:

1. Представлення числа 60: Нехай x буде першим додатним числом, а y буде другим додатнім числом. 60 = x + y

2. Вираз для суми квадратів: S = x^2 + y^2

3. Застосування методу оптимізації: Ми хочемо знайти мінімальне значення S. Для цього можемо використовувати метод підстановки, заміни x або y у виразі для S залежно від іншої змінної. Давайте підставимо x = 60 - y у вираз для S:

S = (60 - y)^2 + y^2

4. Знайдемо похідну від цього виразу: dS/dy = 2(60 - y) + 2y

5. Прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо рівняння: 2(60 - y) + 2y = 0 120 - 2y + 2y = 0 120 = 0

Наша похідна не має розв'язків, що означає, що відсутні критичні точки.

6. Порівняння значень S: Підставимо значення y = 0 у вираз для S: S = (60 - 0)^2 + 0^2 = 3600

Підставимо значення y = 60 у вираз для S: S = (60 - 60)^2 + 60^2 = 3600

Обидва вирази дають однакове значення S = 3600.

Отже, найменша сума квадратів двох додатних чисел, що дає 60, дорівнює 3600.