Question

На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей, сколькими способами можно составить из них 4 пары для танцев?

Answer 1

Посчитаем число способов выбрать 4 девушек из 12 без учета порядка их выбора. Оно равно $C_{12}^{4}= \frac{12!}{(12-4)!*4!} =9*10*11*12/(1*2*3*4)=11880/24=495$
Посчитаем число способов выбрать 4 парней из 15 без учета порядка их выбора.
$C_{15}^{4}= \frac{15!}{(15-4)!4!} =12*13*14*15/24=32760/24=1365$
Суть в том, чтобы выбрать 4 девушек и зафиксировать их на своих местах, затем выбрать 4 парней и сопоставить одного парня одной девушке. Это можно сделать 4!=24 способами, переставляя парней.
Таким образом, количество способов составить пары равно 495*1365*24=16216200

Answer 2

Чтобы определить количество способов составить 4 пары для танцев из 12 девушек и 15 юношей, мы можем воспользоваться комбинаторикой. Количество способов выбрать 4 девушки из 12 равно \( C_{12}^4 \) (четыре сочетания из двенадцати), а количество способов выбрать 4 юношей из 15 равно \( C_{15}^4 \).

Формула для сочетаний (в сочетании с использованием биномиального коэффициента) выглядит следующим образом:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где "!" обозначает факториал. Факториал числа - это произведение всех положительных целых чисел от 1 до этого числа.

Таким образом, количество способов составить 4 пары для танцев можно рассчитать следующим образом:

\[ \text{Количество способов} = C_{12}^4 \times C_{15}^4 \]

Подставим значения:

\[ C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

\[ C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

После вычисления обоих сочетаний, перемножим их:

\[ \text{Количество способов} = C_{12}^4 \times C_{15}^4 \]

Это даст вам окончательный ответ на ваш вопрос.