Question

выразите логарифм 45 по основанию 4 через а и б. если а=логарифм 4 по основанию 3, б=логарифм 4 по основанию 5

Answer 1

(1/b+2/a) т.к. log45 = log 5*3*3 = log5+log3+log3

Answer 2

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть \(a = \log_3{4}\) и \(b = \log_5{4}\). Тогда логарифм 45 по основанию 4 можно выразить через \(a\) и \(b\) следующим образом:

\[ \log_4{45} = \frac{\log_3{45}}{\log_3{4}} = \frac{\log_3{(3 \cdot 15)}}{\log_3{4}} = \frac{\log_3{3} + \log_3{15}}{\log_3{4}} \]

Мы использовали свойство логарифма \(\log_b{(xy)} = \log_b{x} + \log_b{y}\).

Теперь давайте выразим \(\log_3{15}\) через \(a\) и \(b\). Мы знаем, что \(a = \log_3{4}\), поэтому \(\log_3{4} = a\), и, следовательно, \(\log_3{2} = \frac{a}{2}\), так как \(4 = 2^2\).

Также, \(\log_5{4} = b\), и мы можем выразить \(\log_5{2}\) через \(b\): \(\log_5{2} = \frac{1}{\log_2{5}} = \frac{1}{\frac{\log_5{5}}{\log_5{2}}} = \frac{\log_5{2}}{\log_5{5}} = \frac{b}{1} = b\).

Теперь мы можем выразить \(\log_3{15}\) через \(a\) и \(b\):

\[ \log_3{15} = \log_3{(3 \cdot 5)} = \log_3{3} + \log_3{5} = 1 + \frac{\log_5{5}}{\log_5{2}} = 1 + \frac{1}{b} \]

Теперь мы можем вернуться к выражению для \(\log_4{45}\):

\[ \log_4{45} = \frac{\log_3{3} + \log_3{15}}{\log_3{4}} = \frac{1 + \frac{1}{b}}{a} \]

Таким образом, логарифм 45 по основанию 4 можно выразить через \(a\) и \(b\) как \(\frac{1 + \frac{1}{b}}{a}\).