Question

F(x) = 3x^3 - 4x^2 + 5x - 6 - многочлен третьей степени . Упростите выражение и найдите степень полученного многочлена : а) f(x) + f(x); б) f(x) -f(-x).

Answer 1

F(x) + f(x) = 2f(x) = 2(3x³ - 4x² + 5x - 6) = 6x³  8x² + 10x - 12

Степень - 3

f(x) - f(-x) = 3x³ - 4x² + 5x - 6 + 3x³ + 4x² + 5x + 6 = 6x³ + 10x

Степень - 3

Answer 2

F(x) + f(x)=3x^3 - 4x^2 + 5x - 6+3x^3 - 4x^2 + 5x - 6=6x^3 - 8x^2 + 10x - 12   -многочлен третьей степени.

f(x) -f(-x)=3x^3 - 4x^2 + 5x - 6-(-3x^3 - 4x^2 - 5x - 6)=3x^3 - 4x^2 + 5x - 6 +3x^3 + 4x^2 + 5x + 6=6x^3 + 10x     -многочлен третьей степени.

Answer 3

Давайте рассмотрим заданный многочлен третьей степени:

\[ f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 5x - 6 \]

а) Чтобы упростить выражение \( f(x) + f(x) \), сложим два одинаковых многочлена:

\[ f(x) + f(x) = (3x^3 - 4x^2 + 5x - 6) + (3x^3 - 4x^2 + 5x - 6) \]

Сложим коэффициенты при одинаковых степенях \( x \):

\[ 3x^3 + 3x^3 = 6x^3 \] \[ -4x^2 - 4x^2 = -8x^2 \] \[ 5x + 5x = 10x \] \[ -6 - 6 = -12 \]

Таким образом, получаем новый многочлен:

\[ f(x) + f(x) = 6x^3 - 8x^2 + 10x - 12 \]

Степень этого многочлена - это степень его самой высокой степени \( x \), то есть третьей степени. Так что степень многочлена \( f(x) + f(x) \) равна 3.

б) Теперь рассмотрим выражение \( f(x) - f(-x) \):

\[ f(x) - f(-x) = (3x^3 - 4x^2 + 5x - 6) - (3(-x)^3 - 4(-x)^2 + 5(-x) - 6) \]

При подстановке \(-x\) вместо \(x\), учтем, что \((-x)^3 = -x^3\), \((-x)^2 = x^2\), и так далее.

\[ f(x) - f(-x) = (3x^3 - 4x^2 + 5x - 6) - ( -3x^3 - 4x^2 - 5x - 6) \]

Сложим коэффициенты при одинаковых степенях \( x \):

\[ 3x^3 + 3x^3 = 6x^3 \] \[ -4x^2 + 4x^2 = 0 \] \[ 5x + 5x = 10x \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Таким образом, получаем новый многочлен:

\[ f(x) - f(-x) = 6x^3 + 10x \]

Степень этого многочлена равна 3, так как у него есть член \(6x^3\), и это самая высокая степень \( x \).