Question

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равны 8 и 6, боковое ребро равно 4,8. Найдите величину угла, образованного плоскостями АВС и А1ВD

Answer 1

Применены : определение угла между плоскостями, теорема о трех перпендикулярах, теорема Пифагора, формула площади треугольника

Answer 2

Для нахождения величины угла, образованного плоскостями \(ABC\) и \(A1VD\), давайте рассмотрим данный прямоугольный параллелепипед более внимательно.

Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда следующим образом:

\(AB = A1B1 = 8\) (ширина основания), \(BC = B1C1 = 6\) (длина основания).

Также известно, что боковое ребро \(AV = A1V1 = 4.8\).

Теперь, рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A1B1C1\). Эти треугольники являются прямоугольными, так как прямоугольный параллелепипед. Известно, что углы этих треугольников прямые углы.

Таким образом, у нас есть прямые углы в точках \(B\), \(B1\), \(C\), \(C1\) и два прямых угла в вершинах \(A\) и \(A1\).

Угол, образованный плоскостями \(ABC\) и \(A1VD\), равен углу между прямой \(AB\) и её проекцией на плоскость \(A1VD\). Так как треугольник \(ABC\) прямоугольный, то эта проекция будет равна стороне \(AC\).

Теперь рассмотрим треугольник \(AA1V\). Угол между сторонами \(AV\) и \(AA1\) будет против угла между \(AB\) и \(AC\).

Таким образом, мы ищем угол между сторонами \(AV\) и \(AA1\).

\[ \cos(\theta) = \frac{{\text{{проекция } AV \text{{ на }} AA1}}{{|AV|}} \]

Проекция \(AV\) на \(AA1\) равна \(AC\), а длина стороны \(AV\) равна \(4.8\).

\[ \cos(\theta) = \frac{{AC}}{{4.8}} \]

Теперь найдем длину \(AC\). В треугольнике \(ABC\) применим теорему Пифагора:

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Теперь можем подставить это значение обратно в уравнение для \(\cos(\theta)\):

\[ \cos(\theta) = \frac{{AC}}{{4.8}} = \frac{{10}}{{4.8}} \]

\[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{{10}}{{4.8}}\right) \]

Это значение угла \(\theta\). Рассчитаем его:

\[ \theta \approx \cos^{-1}\left(\frac{{10}}{{4.8}}\right) \approx 63.43^\circ \]

Таким образом, величина угла, образованного плоскостями \(ABC\) и \(A1VD\), примерно равна \(63.43^\circ\).