Question

Lim x стремится к 0 (tg3x-sin3x)/2x^2

Answer 1

Решение
limx--> 0 [(tg3x - sin3x)/(2x²)] =
= limx--> 0 [sin3x∙(1-cos3x)/(2x²∙cos3x)] =
= limx--> 0 [sin3x * 2sin²(3x/2)/(2x² * cos3x)] =
= { limx--> 0 (3*x)* limx--> 0 (sin3x)/3x)∙limx--> 0 [2*(3x/2)*(3x/2)]
 limx--> 0 [sin²(3x/2)/ (9x²/4) (2x²∙cos3x)]} =
= limx--> 0 [3*x*2*(9x²/4)/(2x² * cos3x)] =
= limx--> 0 [3*x*(9/4)/(cos3x)] = 0
применяем первый замечательный предел: limx--> 0 (sinx / x) = 1

Answer 2

Конечно, вот как можно решить данное выражение:

У вас есть функция \( f(x) = \frac{\tan(3x) - \sin(3x)}{2x^2} \) и вам нужно найти предел этой функции, когда \( x \) стремится к 0.

Шаг 1: Попробуем разложить выражение \(\tan(3x)\) и \(\sin(3x)\) в числителе.

Известно, что \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1\), и \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\). Используя эти факты:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - \sin(3x)}{2x^2}\)

Мы можем выделить \(x\) из \(\tan(3x)\) и \(\sin(3x)\):

\(= \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - 3x + 3x - \sin(3x)}{2x^2}\)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - 3x}{2x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{3x - \sin(3x)}{2x^2}\)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - 3x}{2x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{2x^2}\)

Здесь у нас появились два предела, которые мы можем вычислить отдельно.

Шаг 2: Вычислим эти пределы:

а) Предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - 3x}{2x^2}\):

Мы можем использовать факт \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1\):

\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - 3x}{2x^2} = \frac{1 - 0}{2 \cdot 1^2} = \frac{1}{2}\)

б) Предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{2x^2}\):

Также используем факт \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\):

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{2x^2} = \frac{0}{2 \cdot 1^2} = 0\)

Шаг 3: Теперь, когда мы вычислили оба предела, сложим их:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - \sin(3x)}{2x^2} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}\)

Итак, \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) - \sin(3x)}{2x^2} = \frac{1}{2}\), когда \(x\) стремится к 0.