Question

В трапеции диагонали пересекаются в точке, через которую проведен отрезок, соединяющий боковые стороны параллельно основанию. Отношение площадей треугольников с вершиной в точке пересечения и основаниями, равными основаниям трапеции, равно 9:1 . Найдите отношения площадей трапеции, на которые делит исходную трапецию данный отрезок.

Answer 1

ABCD - трапеция; AD - нижнее основание; BC - верхнее основание; O - точка пересечения диагоналей. EF проходит через точку O и параллельно основаниям. MN проходит через точку O и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. E∈AB; F∈CD; M∈BC; N∈AD
Тр-к BOC подобен тр-ку AOD. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. Значит, AD:BC=3^:1; MO:ON=1:3; MO:MN=1:4; 
Пусть BC=x⇒AD=3x; MO=y;⇒ON=3y; MN=4y
Площадь трапеции ABCD равна: S=1/2(AD+BC)*MO=1/2(x+3x)*4y=8xy
Выразим через S площади BEFC  и AEFD.
Площадь AEFD равна сумме площадей AOFD  и AEO.
Рассмотрим тр-ки ACD и OCF. Они подобны. Их высоты относятся как 4:1, а площади как 16:1. Площадь ACD равна 1/2*3x*4y=6xy. Площадь OCF равна 1/16*6xy=3/8*xy. Площадь AOFD  равна разности площадей ACD и OCF:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
Рассмотрим тр-ки ABC и AEO. Они подобны. Их высоты относятся как 4:3, а площади как 16:9. Площадь ABC равна 1/2*x*4y=2xy. Площадь AEO равна 9/16*2xy=9/8*xy. Площадь AEFD  равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
Площадь BEFC равна разности площадей ABCD и  AEFD:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
S(BEFC): S(AEFD)=5/4*xy:27/4*xy=5:27

Answer 2

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD — основания, а AD и BC — боковые стороны. Пусть также диагонали пересекаются в точке E, и через E проведен отрезок FG, соединяющий боковые стороны AD и BC параллельно основанию AB.

Также известно, что отношение площадей треугольников ADE и BCE равно 9:1. Пусть S1 — площадь треугольника ADE, а S2 — площадь треугольника BCE.

Так как треугольники ADE и BCE имеют общий основание DE и лежат между параллельными прямыми DE и AB, отношение их площадей равно отношению соответствующих им высот:

\[ \frac{S1}{S2} = \frac{\text{высота ADE}}{\text{высота BCE}} \]

Также известно, что FG параллелен основанию AB и соединяет боковые стороны AD и BC. Поэтому отношение высот ADE и BCE равно отношению отрезков AF и FB:

\[ \frac{\text{высота ADE}}{\text{высота BCE}} = \frac{AF}{FB} \]

Теперь у нас есть два выражения для отношения площадей треугольников:

\[ \frac{S1}{S2} = \frac{AF}{FB} \]

Но по условию задачи отношение площадей треугольников равно 9:1:

\[ \frac{S1}{S2} = 9:1 \]

Следовательно, \(\frac{AF}{FB} = 9:1\).

Теперь рассмотрим трапецию ABCD. Отрезок FG делит трапецию на два треугольника: ADE и CFB. Так как отрезок FG параллелен основанию AB, то отношение площадей этих треугольников равно отношению соответствующих им высот:

\[ \frac{\text{площадь ADE}}{\text{площадь CFB}} = \frac{\text{высота ADE}}{\text{высота CFB}} \]

Но мы знаем, что \(\frac{\text{высота ADE}}{\text{высота CFB}} = \frac{AF}{FB} = 9:1\).

Следовательно, отношение площадей треугольников ADE и CFB также равно 9:1. Так как сумма площадей треугольников равна площади трапеции, то и отношение площадей трапеции, на которые делит ее отрезок FG, также равно 9:1.

Итак, отношение площадей трапеции ABCD, на которые делит ее отрезок FG, равно 9:1.