Question

Интеграл от cos^3 x *sin 2x по dx

Answer 1

cos^3 x *sin 2x=2cos^3 x*cos x*sin x=2cos^4 x *sin x

Integral 2cos^4 x *sin x dx=

= 2 integral sin(x) cos^4(x) dx

t = cos(x) , dt = -sin(x) dx:

= -2 integral t^4 dt

= -(2 t^5)/5+C

t = cos(x):

= -2/5 cos^5(x)+C

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этим. Давайте вычислим интеграл от выражения cos^3(x) * sin(2x) по переменной x.

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменной. В данном случае, давайте воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на следующей формуле: ∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx,

где u и v - функции, а u' - производная функции u по переменной x.

Давайте выберем: u = cos^3(x) и u' = -3cos^2(x)sin(x), dv = sin(2x) dx и v = -1/2cos(2x).

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ cos^3(x) * sin(2x) dx = -1/2cos^3(x)cos(2x) - ∫ (-1/2cos(2x) * -3cos^2(x)sin(x)) dx.

Упрощая это выражение, получаем:

∫ cos^3(x) * sin(2x) dx = -1/2cos^3(x)cos(2x) + 3/2∫ cos^2(x)sin(2x) dx.

Теперь нам нужно решить интеграл ∫ cos^2(x)sin(2x) dx. Для этого мы можем воспользоваться формулой половинного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Заменив sin(2x) в исходном интеграле, получим:

∫ cos^2(x)sin(2x) dx = ∫ 2cos^2(x)sin(x)cos(x) dx.

Теперь мы можем вынести константу 2 за знак интеграла и разделить на два интеграла:

∫ cos^2(x)sin(x)cos(x) dx = 1/2 ∫ 2cos^2(x)sin(x)cos(x) dx.

Применим формулу интегрирования по частям снова:

u = cos^2(x) и u' = -2cos(x)sin(x), dv = sin(x)cos(x) dx и v = 1/2sin^2(x).

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

1/2 ∫ 2cos^2(x)sin(x)cos(x) dx = 1/2(-1/2cos^2(x)sin^2(x) - 1/2 ∫ (-1/2sin^2(x) * -2cos(x)sin(x)) dx).

Упрощая это выражение, получаем:

1/2 ∫ 2cos^2(x)sin(x)cos(x) dx = -1/4cos^2(x)sin^2(x) + 1/4 ∫ sin^3(x)cos(x) dx.

Осталось найти интеграл ∫ sin^3(x)cos(x) dx. Для этого мы можем использовать ту же формулу интегрирования по частям:

u = sin^3(x) и u' = 3sin^2(x)cos(x), dv = cos(x) dx и v = sin(x).

Применим эту формулу:

1/4 ∫ sin^3(x)cos(x) dx = 1/4(sin^4(x)/4 - ∫ (3sin^2(x)cos(x) * sin(x)) dx).

Упрощая это выражение, получаем:

1/4 ∫ sin^3(x)cos(x) dx = 1/4(sin^4(x)/4 - 3/4 ∫ sin^3(x) dx).

Осталось решить интеграл ∫ sin^3(x) dx. Для этого мы можем использовать формулу понижения степени:

∫ sin^3(x) dx = -1/3cos(x) + 1/3∫ sin(x) dx.

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

1/4 ∫ sin^3(x)cos(x) dx = 1/4(sin^4(x)/4 - 3/4(-1/3cos(x) + 1/3∫ sin(x) dx)).

Упрощая это выражение, получаем:

1/4 ∫ sin^3(x)cos(x) dx = sin^4(x)/16 + 3/16cos(x) - 1/16∫ sin(x) dx.

Интеграл ∫ sin(x) dx равен -cos(x), поэтому:

1/4 ∫ sin^3(x)cos(x) dx = sin^4(x)/16 + 3/16cos(x) + 1/16cos(x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл от выражения cos^3(x) * sin(2x) равен:

∫ cos^3(x) * sin(2x) dx = -1/2cos^3(x)cos(2x) + 3/2(-1/4cos^2(x)sin^2(x) + 1/4(sin^4(x)/4 + 3/16cos(x) + 1/16cos(x))) + C.

Пожалуйста, обратите внимание, что это довольно сложное выражение, и его можно дальше упростить, если это необходимо.