Question

А) Решите уравнение 2cos(x-3п/2)*cos(2п-x)=корень из 3 sinx

Answer 1

Формулы приведения
cos(x-3Π/2)=sin x; cos(2Π-x)=cos x
2sin x*cos x = √3*sin x
2sin x*cos x - √3*sin x = 0
2sin x*(cos x - √3/2) = 0
1) sin x = 0; x = Π*k
2) cos x = √3/2; x = +-Π/6+2Π*n

Answer 2

Давайте решим данное уравнение поэтапно.

Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом: 2cos(x-3π/2) * cos(2π-x) = √3 * sin(x)

Для начала, давайте упростим его, используя тригонометрические тождества. Для этого нам понадобятся следующие тождества:

1. cos(a) * cos(b) = (1/2)[cos(a+b) + cos(a-b)] 2. sin(a) * sin(b) = (1/2)[cos(a-b) - cos(a+b)] 3. cos(a) * sin(b) = (1/2)[sin(a+b) + sin(a-b)]

Применим эти тождества к нашему уравнению:

2cos(x-3π/2) * cos(2π-x) = √3 * sin(x) 2 * (1/2)[cos(3π/2 + x) + cos(3π/2 - x)] * (1/2)[sin(x) + sin(-x)] = √3 * sin(x)

Упростим это выражение:

(cos(3π/2 + x) + cos(3π/2 - x)) * (sin(x) - sin(-x)) = √3 * sin(x) (cos(3π/2 + x) + cos(3π/2 - x)) * 2 * sin(x) = √3 * sin(x) // используем sin(-x) = -sin(x)

Теперь давайте разберемся с выражением (cos(3π/2 + x) + cos(3π/2 - x)). Здесь мы можем использовать следующее тождество:

cos(a) + cos(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

Подставим это в выражение:

2 * cos((3π/2 + x + 3π/2 - x)/2) * cos((3π/2 + x - 3π/2 + x)/2) * 2 * sin(x) = √3 * sin(x) 2 * cos(3π/2) * cos(x) * 2 * sin(x) = √3 * sin(x) 2 * (-1) * cos(x) * 2 * sin(x) = √3 * sin(x) // cos(3π/2) = -1

Упростим это выражение:

-8 * cos(x) * sin(x) = √3 * sin(x)

Теперь у нас есть уравнение -8cos(x)sin(x) = √3sin(x). Для решения этого уравнения нужно рассмотреть два случая: когда sin(x) ≠ 0 и когда sin(x) = 0.

Рассмотрим случай sin(x) ≠ 0:

Делим обе части уравнения на sin(x):

-8cos(x) = √3

Теперь делим обе части на -8:

cos(x) = √3/(-8)

Используем обратную функцию косинуса (arccos) для обеих сторон:

x = arccos(√3/(-8))

Теперь мы получили значение x для этого случая.

Рассмотрим случай sin(x) = 0:

Если sin(x) = 0, то уравнение превращается в -8cos(x) * 0 = √3 * 0, что эквивалентно 0 = 0. Это истинное уравнение, которое выполняется для любого значения x, когда sin(x) = 0.

Итак, решение уравнения:

Рассмотрев оба случая, мы получили два возможных решения:

1. x = arccos(√3/(-8)) 2. sin(x) = 0 (это выполняется для любого значения x, когда sin(x) = 0)

Пожалуйста, обратите внимание, что я дал вам подробное объяснение решения данного уравнения. Если вам нужно численное значение x, необходимо использовать калькулятор или математическое программное обеспечение для вычисления значения arccos(√3/(-8)).