Question

Иван записал по кругу 11 чисел. Причем, в любой паре соседних чисел одно делится на другое. Марья, не глядя на числа, заявила, что найдет пару НЕ соседних чисел с тем же свойством. Права ли Марья? Помогите, пожалуйста !!! Очень надо ! И напишите почему.

Answer 1

Расставим по кругу 11 чисел a, b, c, d, ..., l. В каждой паре соседних чисел одно является делимым, другое - делителем. Проведём от делимого к делителю стрелку. Т.к. количество чисел нечётно, то и наших стрелочек тоже нечётное число. Даже если стрелки будут чередоваться, то в любом случае (из-за их нечётности), какие-то две стрелки подряд будут идти в одном направлении. Например, пусть это будут числа a, b и c и стрелки направлены слева направо. Т.е. a делится на b, в свою очередь b делится на с. Следовательно, а делится на с. А это числа НЕ соседние.
Так что Маша права.

Answer 2

Марья права. Докажем это.

Предположим, что для любой пары НЕ соседних чисел одно не делится на другое. Тогда, возьмем первое число и второе число в последовательности Ивана. Пусть первое число будет a, а второе число будет b. Тогда, по предположению, a не делится на b и b не делится на a.

Затем, возьмем третье число в последовательности Ивана. Пусть третье число будет c. Тогда, по предположению, b не делится на c и c не делится на b.

Продолжая этот процесс, мы можем взять любое число в последовательности Ивана и утверждать, что оно не делится ни на предыдущее число, ни на следующее число в последовательности.

Однако, поскольку Иван записал всего 11 чисел, мы не можем выбрать 11 непересекающихся чисел. Таким образом, мы приходим к противоречию, и предположение о том, что для любой пары НЕ соседних чисел одно не делится на другое, неверно.

Следовательно, Марья права и существует пара НЕ соседних чисел, одно из которых делится на другое.