Question

Укажите функцию которая удовлетворяет уравнению y"+xy`+y=xcosx

Answer 1

Обратим внимание, что справа стоит xy' а слева xcos(x). Чтобы избавиться от этих проблемных членов, представим 

$y = u + \sin x$

Тогда

$(u'' - \sin x) + x(u'+\cos x) + u + \sin x = x\cos x\\ u'' + xu' + u = 0$

Фактически, мы угадали частное решение. Теперь найдем общее решение однородного уравнения. На самом деле нет, не найдем, просто найдем частное, но нам же задача ставится только функцию подобрать. Сделаем замену p = x^2, тогда

$p = x^2\\ dp = 2xdx\\ u' = du/dx = 2x(du/dp) = 2\sqrt{p}u`\\ u'' = du'/dx = 2\sqrt{p}(du'/dp) = 2\sqrt{p}(p^{-1/2}u` + 2\sqrt{p}u``) = 2u`+4pu``$

Где обратный штрих означает производную по p. Подставим все и получим
$4pu``+2pu`+2u`+u = 0\\ 2u`+u + 2p(2u`+u)` = 0$

Частным решением последнего уравнения будет
$2u`+u = 0\\ u = \exp(-p/2) = \exp(-x^2/2)\\\\ y = u+\sin x = \exp(-x^2/2)+\sin x$

Answer 2

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Чтобы найти функцию, которая удовлетворяет этому уравнению, мы можем использовать метод вариации постоянных.

Метод вариации постоянных

Предположим, что решение уравнения имеет вид y = u(x) * v(x), где u(x) и v(x) - неизвестные функции, которые мы хотим найти. Подставим это предположение в исходное уравнение и найдем выражения для производных y'.

Нахождение производных y'

Для нахождения производной y' используем правило производной произведения функций:

y' = u' * v + u * v'

Теперь найдем производные y" и y'. Заметим, что x - это независимая переменная, поэтому y' и y" будут функциями только от x.

Нахождение производной y"

Для нахождения производной y" сначала найдем производную y'. Имеем:

y' = u' * v + u * v'

Теперь продифференцируем это выражение по x:

y" = (u'' * v + 2u' * v' + u * v") + (u' * v' + u * v")

Таким образом, мы получили выражение для второй производной y".

Подстановка в исходное уравнение

Подставим найденные производные y' и y" в исходное уравнение:

(u'' * v + 2u' * v' + u * v") + x * (u' * v + u * v') + u * v = x * cos(x)

Разделение переменных

Теперь разделим переменные, выделив слагаемые, содержащие различные функции u(x) и v(x):

(u'' * v + 2u' * v' + u * v") + (x * u' * v + x * u * v') + u * v = x * cos(x)

Упрощение выражения

После упрощения выражения, получим:

u'' * v + 2u' * v' + u * v" + x * u' * v + x * u * v' + u * v = x * cos(x)

Выделение общих множителей

Теперь выделим общие множители для слагаемых:

(u'' * v + u * v") + (2u' * v' + x * u' * v + x * u * v') + u * v = x * cos(x)

Уравнение для функции u(x)

Теперь мы можем записать два уравнения для функций u(x) и v(x). Для функции u(x) получаем:

u'' * v + u * v" + 2u' * v' + x * u' * v + x * u * v' + u * v = 0

Уравнение для функции v(x)

Для функции v(x) получаем:

(u'' * v + u * v") + (2u' * v' + x * u' * v + x * u * v') + u * v = x * cos(x)

Решение уравнения для функции u(x)

Сначала решим уравнение для функции u(x). Поделим обе части уравнения на u * v:

u''/u + v"/v + 2u'/u'v' + x * u'/u + x * v'/v + 1 = 0

Разделяем переменные

Теперь разделим переменные и выделим слагаемые, содержащие различные функции:

(u''/u + 2u'/u + x * u'/u) + (v"/v + 2v'/v + x * v'/v) + 1 = 0

Упрощаем выражение

После упрощения получаем:

(u''/u + 2u'/u + x * u'/u) + (v"/v + 2v'/v + x * v'/v) + 1 = 0

Решение уравнения для функции v(x)

Аналогично решим уравнение для функции v(x). Поделим обе части уравнения на u * v:

(u''/u + 2u'/u + x * u'/u) + (v"/v + 2v'/v + x * v'/v) + 1 = x * cos(x) / (u * v)

Интегрирование

Теперь мы можем проинтегрировать уравнения для функций u(x) и v(x), чтобы найти их общие решения. Затем мы можем использовать метод вариации постоянных, чтобы найти частное решение исходного уравнения.

Общий подход к решению данного дифференциального уравнения включает в себя дальнейшие шаги и может быть сложным для выполнения вручную. Рекомендуется использовать компьютерные программы или пакеты математического программного обеспечения, такие как Python с библиотекой SymPy, чтобы численно решить это уравнение и получить функцию, удовлетворяющую заданному уравнению.